pour un entier n>1, on note u_n la solution réelle de l'équation
X^5+X^4=n
Comment obtenir "aisément" un dvlpt asymptotique de u_n?
J'obtiens:
u_n~n^(1/5)-1/5+(2/25)n^(-1/5)+?
...mais péniblement. Je sollicite donc votre aide.
tu as montré que u(n) ~ n^(1/5) ?
si oui ,alors tu utilises la propriété :
" pour toute suite (w_n) convergeant vers 0 , pour tout réel a, on a :
(1+w(n))^a=1+aw(n)+o(w(n))".
d'où la réponse, utilises le fait que (u(n))^5=n-(u(n))^4
$u_n\sim n^{1/5}$ et $u_n\left(1+\frac{1}{u_n}\right)^{1/5}=n^{1/5}$ d'ou
$u_n \left(1+\frac{1}{5u_n}-\frac{2}{25u_n^2}+\frac{6}{125u_n^3}+o\left(\frac{1}{u_n^3}\right)\right)=n^{1/5}$
et
$u_n+\frac{1}{5}-\frac{2}{25u_n}+\frac{6}{125u_n^2}+o\left(\frac{1}{u_n^2}\right)=n^{1/5}$
et puisque $u_n\sim\n^{1/5}$
$u_n+\frac{1}{5}-\frac{2n^{-1/5}}{25}+\frac{6n^{-2/5}}{125}+o\left(n^{-2/5}\right)=n^{1/5}$
José, j'aime bien cette méthode qui donne deux coef d'un coup: -1/5 et 2/25.
Mais attention: l'équivalence ne garantit pas la dernière ligne, les premiers coef semblent être -1/5; 2/25; -20/625; 7/625; -44/15625 ...
Pour qui voudrait réfléchir à ce problème, je conseille de poser m^5=n.
On se convainc alors aisément que la solution de l'équation a un dvlpt asymptotique de la forme
m-1/5+Somme(b_k/m^k) (somme pour k>=1)
La question est de trouver les b_k sans trop de calculs.
Réponses
si oui ,alors tu utilises la propriété :
" pour toute suite (w_n) convergeant vers 0 , pour tout réel a, on a :
(1+w(n))^a=1+aw(n)+o(w(n))".
d'où la réponse, utilises le fait que (u(n))^5=n-(u(n))^4
$u_n \left(1+\frac{1}{5u_n}-\frac{2}{25u_n^2}+\frac{6}{125u_n^3}+o\left(\frac{1}{u_n^3}\right)\right)=n^{1/5}$
et
$u_n+\frac{1}{5}-\frac{2}{25u_n}+\frac{6}{125u_n^2}+o\left(\frac{1}{u_n^2}\right)=n^{1/5}$
et puisque $u_n\sim\n^{1/5}$
$u_n+\frac{1}{5}-\frac{2n^{-1/5}}{25}+\frac{6n^{-2/5}}{125}+o\left(n^{-2/5}\right)=n^{1/5}$
non ?
Mais attention: l'équivalence ne garantit pas la dernière ligne, les premiers coef semblent être -1/5; 2/25; -20/625; 7/625; -44/15625 ...
Pour qui voudrait réfléchir à ce problème, je conseille de poser m^5=n.
On se convainc alors aisément que la solution de l'équation a un dvlpt asymptotique de la forme
m-1/5+Somme(b_k/m^k) (somme pour k>=1)
La question est de trouver les b_k sans trop de calculs.