Mneime : connexité de GL(n,C)

e=mc3 · November 2006

Bonjour il me semble qu'il manque une ultime étape dans le raisonnement de Mneimé p17 concernant la démonstration de la connexité de $Gl(n,\C)$, mais il est vrai que ces démos sont souvent concises.

Je rappelle la démo:
on veut montrer la connexité par arc. POur cela on se donne A et B dans $GL,(n,\C)$. le complémentaire $\Omega$ de l'ensemble (fini) des complexes annulant det(zA+(1-z)B) est un connexe de $\C$
l'image de $\Omega$ par par $\phi:z->zA+(1-z)B$ est donc un connexe contenant A et B.

Et là où ça me gêne c'est que pour Mneimé le boulot est terminé
C'est vrai que c'est presque fini, mais le danger serait d'aller trop vite en disant que connexe ($\phi(\Omega)$) implique connexe par arc (ce qui est faux dans le cas général)

Pour moi, le hic c'est que z est complexe et l'on n'a donc pas affaire à un chemin.
Il faut donc finioler la démo pour démontrer la connexité par arc c'est à dire construire un chemin allant de A à B.

1ère méthode:
on sait que dans un evn connexité d'un ouvert=>connexité par arc (question subsidiaire est ce vrai quel que soit le corps de base?En relisant la démo je pense oui)Comme Gl(n,C) est un ouvert c'est fini.

2ème méthode:
On remarque O et 1 appartiennet tous les deux à $\Omega$. Et là j'utilise non pas la connexité de $\Omega$ mais sa connexité par arc (évidente car $\Omega$ est $\C$ privé d'un nombre fini de points) ce qui me permet de construire une fonction continue $\psi:[0,1]->\C$ telle que $\psi(0)=(0,0)$ $\psi(1)=(1,0)$
il est clair qu'alors $\phi o \psi$ est un chemin reliant A à B

pg0 · November 2006

Il me semble que Mneimné et Testard montrent que Gln(C) est connexe (résultat 1.5.1), pas connexe par arcs. Par contre, comme il le disent au début du § 1.5., un ouvert de Mn(C) connexe est connexe par arcs, donc il suffit de montrer que Gln(C) est connexe pour montrer qu'il est connexe par arcs (ils utilisent donc la 1ère méthode).

Mauricio4 · November 2006

Salut,
d'abord il faut que tu comprennes l'idee
V={A,det A=0} c'est une sous variete algebrique complexe de $C^{n^2}$ et il s'agit de montrer que le complemenetaire d'une telle variete est toujours connexe.
Regarde deja le cas de dimension 0. Les sous variete algebrique de $C$ (propres) sont les points et si tu enleve des points a $C$ tu reste connexe.
Le cas general se ramene a celui la heuristiquement tu prends une droite complexe dans $C^{n^2}$, elle intersecte ta variete en un nombre fini de point et tu peux relie deux points
sur cette droite par un chemin.
C'est cette idee qui est mise en pratique, l'image de
$ \phi:z->zA+(1-z)B$
est une droite dans $C^{n^2}$.
Ses intersections avec ta variete $V$ correspondent aux solution de l'equation polynomiale
$det(zA+(1-z)B)=0$
C'est un nombre fini de points. Prends n'importe quel chemin qui joint A a B en evitant ces points, tu relie ainsi A et B.
Mauricio

Yop0 · November 2006

Toutes les propriétés suivantes peuvent se prouver de la même manière (élémentaire) :

1) Si un espace topologique est connexe et localement connexe par arc, alors il est connexe par arc.

2) Dans un ouvert connexe de $\R^n$, on peut joindre deux poitns quelconques par une ligne polygonale brisée.

3) Dans un ouvert connexe de $\R^n$, on peut joindre deux poitns quelconques par une ligne polygonale brisée dont les sommets intermédiaires ont des coordonnées rationnelles (ce qui peut être parfois utile pour montrer des propriétés de mesurabilité...).

4) Une fonction localement constante sur un connexe est constante.

...

L'idée est à chaque fois de regarder l'ensemble des points qui vérifie uen certaine propriété et de montrer que c'est un ouvert fermé non vide.

Sans relecture.

majdi · November 2006

Pour faire apparaitre le chemin je fais simplement comme suit:

On note $Z$ les zéros du polynôme $P(z)$. On note que 0 et 1 sont dans le complémentaire de $Z$. Comme ce complémentaire est connexe par arcs il existe un chemin dans celui-ci, noté $\gamma$, qui joint 0 et 1. Soit $\varphi$
l'application $z \longrightarrow zA+(1-z)B$; l'image par $\varphi$ de $\C \backslash Z$ est une partie de $GL_n(\CC)$ (puisque de déterminant non nul). On a construit un chemin $\varphi o \gamma$, de cette partie de $GL_n(\CC)$, joignant $A$ et $B$.

+

Alain Debreil · November 2006

Toutes les propriétés suivantes peuvent se prouver de la même manière (élémentaire) :

1) Si un espace topologique est connexe et localement connexe par arc, alors il est connexe par arc.
2) Dans un ouvert connexe de $\R^n$, on peut joindre deux points quelconques par une ligne polygonale brisée.
3) Dans un ouvert connexe de $\R^n$, on peut joindre deux points quelconques par une ligne polygonale brisée dont les sommets intermédiaires ont des coordonnées rationnelles (ce qui peut être parfois utile pour montrer des propriétés de mesurabilité...).
4) Une fonction localement constante sur un connexe est constante.
...

L'idée est à chaque fois de regarder l'ensemble des points qui vérifient une certaine propriété et de montrer que c'est un ouvert fermé non vide.

Sans relecture.

pg0 · November 2006

En complément, voici une construction amusante d'un chemin entre les deux points.

Soit $\Omega$ le complémentaire dans $\R^2$ d'un ensemble dénombrable $D$ de points. On prend deux points $A$ et $B$ de $\Omega$ et on cherche à montrer qu'on peut toujours les relier par un chemin à valeurs dans $\Omega$. On considère la médiatrice $\Delta$ du segment $[AB]$. On repère un point $M$ quelconque de cette médiatrice par l'angle $\alpha \in \, ]-\pi\,;\+\pi[$ que fait $[AM)$ avec $[AB)$. L'ensemble des angles $\alpha$ tels que $[AM]\cup[MB]$ rencontre $D$ est au plus dénombrable (sinon, on aurait une injection d'un ensemble non dénombrable dans $D$) et donc il existe une infinité de $\alpha$ tels que $[AM]\cup[MB]$ ne rencontre pas $D$ et n'importe lesquelles de ces réunions de tels segments est un chemin reliant $A$ et $B$ en restant dans $\Omega$.

Cette démonstration d'adapte dans $\R^n$ en se plaçant dans un plan contenant $A$ et $B$ et en utilisant le raisonnement précédent.

Mneime : connexité de GL(n,C)

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