solution faible

Bonsoir,

Arriver à prouver qu'une solution faible existe (il restrait encore à discuter de son caractère local ou global) est déjà bien. Il arrive souvent qu'on ne sache pas prouver l'existence d'une solu (sous-entendu forte). Si on sait prouver l'existence de la solu, il arrive aussi souvent que l'on ne sache pas la construire car nos méthodes de construction peuvent ne pas converger.
Il suffit de regarder par exemple Navier stockes (NS). Suivant la dimension, on sait seuleument prouver l'existence de solu faible ou forte locale ou globale, etc....


Pour faire plus simple parceque j'ai pas envie d'écrire les eq NS (sic), si on prend l'equation de la chaleur sur $[-\pi,\pi]$ : $\partial_t \theta(x,t)=\partial_{xx}\theta(x,t)$ avec des conditions aux bord périodiques et un profil de température initial $\theta_0$ analytique alors on a en Fourier,
$$|\hat\theta_0(\omega)|\leq A e^{B|\omega|},$$ avec $A, B>0, \omega\in\mathbb{Z}$.


On peut alors montrer que pour tout $\omega$, $$\lim_{k\to\infty} (1-\frac{\omega^2t}{k})^k \hat\theta_0(\omega) = e^{-\omega^2t}\hat\theta_0(\omega),$$ alors qu'en norme $L^2$ la limite de $$(1-\frac{\omega^2t}{k})^k \hat\theta_0(\omega)$$ peut diverger lorsque $k$ tend vers l'infini. Par rapport à l'algorithme usuel (que je ne décris pas ici, mais qui est bien connu) que l'on utilise pour construire les solutions de l'equation de la chaleur, ca veut dire que même si ton profil de température initial est analytique, l'algo ne converge pas et donc que je suis incapable de construire ma solution. Par contre on peut montrer la convergence de l'algorithme au sens faible de polynômes trigonométriques.


Bye.

sk.