Comportement de zeta autour des zéros

B......t · November 2006

Bonsoir,

Je me pose une question sans doute pas très subtile concernant le comportement de $\zeta$ autour de ses zéros non triviaux.

Soit $\Delta(z)$ le signe de $\Im{\left(\zeta(z)\right)}$ alors j'observe que si :

$r_0=14$
$r_{n}=r_{n-1}-\frac{\Delta(\frac{1}{2}+i\,r_{n-1})}{2^{n}}$

alors $1/2+i\,r_n$ semble tendre vers le premier zéro non trivial de $\zeta$ soit donc $1/2+i14.1347251417346937904...$.

Cet algorihme binaire semble marcher pour les $22$ premiers zéros non triviaux, en partant de $r_0$ égal à la partie entière des zéros. Pour certains autres zéros ça marche mais moyennant un changement des conditions initiales.

Cela fait penser à sinus autour des $k\pi$ car on sait que :

$s_0=\lfloor{k\pi}\rfloor$
$s_n=s_{n-1}-(-1)^k\frac{signe(s_{n-1})}{2^n}$

tend vers $k\pi$

Le comportement de $\zeta$ peut il être aussi simple?

B.......t

B......t · November 2006

Correctif pour sinus :

$s_n=s_{n-1}-(-1)^k\frac{signe(\sin(s_{n-1}))}{2^n}$

Sylvain · November 2006

Je ne sais pas, mais voilà une observation intéressante en tout cas.

anonym · November 2006

Bonjour,

Très très beau résultat !!! Je me demande ce que Borde en pense...

Mais qu'obtiens-tu si tu appliques ton algorithme à des entiers n'étant pas partie entière de la partie imaginaire d'un zéro de zeta ?

B......t · November 2006

"Très très beau résultat !!!"

Ce n'est pas un résultat, juste une observation. Pour localiser efficacement les zéros on utilise habituellement une fonction "miraculeuse" qui élimine la partie imaginaire et possède un développement en série très utile. Ce que j'observe c'est que, sans recourir à cet artifice qui conduit à étudier une fonction réelle, on peut apparemment aussi localiser les zéros car les parties réelles et imaginaires de zeta changent de signe "simultanément" autour d'un zéro. D'un point de vu computation la première méthode a fait ses preuves! Je voulais juste savoir si en partant de 14 on obtient bien le premier zéro non trivial.

"Mais qu'obtiens-tu si tu appliques ton algorithme à des entiers n'étant pas partie entière de la partie imaginaire d'un zéro de zeta ?"

Si l'entier considéré est "trop loin" d'un zéro, rien. Et il existe parfois plusieurs zéros entre 2 entiers.

borde · November 2006

Bonjour à tous,

L'observation effectuée par Benoît me rappelle un résultat connu depuis les années '40, obtenu par Selberg : si $S(t) = \pi^{-1} \arg \zeta (1/2+it)$, où l'argument est obtenu par variation continue le long de la ligne joignant $2$, $2+it$, $1/2+it$ (démarrant par $0$), alors $S(t)$ change de signe au moins $T (\ln T)^{1/3} e^{-A \sqrt {\ln \ln T}}$ fois dans l'intervalle $]0,T[$ (avec $A > 0$ constante). Ce résultat a par la suite été amélioré par Ghosn qui a pu augmenter l'exposant sur le $\ln$.

Cette fonction $S$ intervient "naturellement" dans l'étude du nombre de zéros de $\zeta$ dans la bande critique, via le théorème suivant (voir Titchmarsh, {\it The theory of the Riemann zeta-function}, Oxford, Th. 9.3 p. 212) :

Si $N(T)$ désigne le nombre de zéros de $\zeta$ dans le rectangle $0 \leqslant \sigma \leqslant 1$ et $0 < t \leqslant T$, alors on a : $$N(T) = \frac {1}{2 \pi} T \ln T - \frac {1+\ln(2 \pi)}{2 \pi} T + \frac {7}{8} + S(T) + O \left ( \frac {1}{T} \right ).$$

J'espère avoir approté un peu d'eau au moulin de Benoît !

Borde.

B.....t · November 2006

Bonjour Borde et merci pour ta remarque éclairée. Je pense en fait que mon observation est triviale et que si le zéro d'une fonction complexe est isolé alors ce genre d'algorithme marche systématiquement moyennant un bon choix des conditions initiales. S'il existe une méthode pour déterminer facilement le signe alors l'algortihme peut être efficace.