Fonctions reeles/complexes

Ca a l'air vrai pour une fonction holomorphe et si la suite est injective. Ca fait pas mal d'hypothèses oubliées. C'est marrant j'ai du mal à croire que ces oublis viennent du prof ; ce serait un sacré manque de respect des élèves de donner un tel énoncé non ? Mais bon, sur le forum, c'est pas pareil je suppose...

Bon on est d'accord alors. Le principe des zéros isolés est vrai pour des fonctions analytiques sur $\R$ ou $\C$, mais on peut trouver des contre-exemples qui sont même $C^{\infty}$, dans les deux cas (attention sur $\C$ il s'agit de dérivabilité partielle et pas de dérivabilité complexe).


L'exemple de base est la fonction définie par $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x > 0$ et $f(x)=0$ si $x \leq 0$, qui est $C^{infty}$ sur $\R$ (voir sur le forum le post récent "continuité" de sangono) mais ses zéros sont loin d'être isolés puisqu'elle est nulle sur tout $\R_-$. Sur $\C$ on peut par exemple prendre $g(z)=f(|z|-1)$ dont les zéros sont exactement le disque unité fermé. Mais ni $f$ ni $g$ ne sont identiquement nulle.


PS : Désolé d'avoir été un peu brutal tout à l'heure, je pensais que tu étais un élève qui recopiait négligemment un exo pour se le faire corriger. C'est plutôt impressionant de connaître et de comprendre des choses comme le prolongement analytique quand on n'a pas fait d'études de maths.