limite d'une suite

Romain1515 · November 2006

B'jour :

Quelqu'un a-t-il une idée concernant le calcul de la limite :

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}} \frac{(2n)!}{\displaystyle{\prod_{k=1}^n (1+4k^2)}}$

J'ai essayé en passant au log, voire si je pouvais dire quelque chose sur la somme de la série obtenue mais ladite série est assez moche et ne me dit rien. La formule de Stirling ne permet pas de conclure directement. Pour finir, je n'ai pas repéré de téléscopage des facteurs.

Merci d'avance

jean lismonde · November 2006

bonjour

la limite est nulle

au dénominateur de ton expression tu mets en facteur (2.4.6.8..2n)²il vient:

[(2n)!/4^n.(n!)²]/[(1+1/2²)(1+1/4²)......(1+1/4n²)]

or le premier crochet s'écrit (2n;n)/4^n qui d'après Wallis est équivalent à 1/rac(pi.n) pour n grand

le second crochet tend vers une limite finie (pi/2)/sh(pi/2) d'après les produits eulériens liés aux fonctions hyperboliques (sh est le sinus hyperbolique)

ton expression est donc équivalente à rac(pi/n).[1/(2shpi/2)] qui tend vers 0 assez lentement

cordialement

Romain1515 · November 2006

C'était la technique pour factoriser qu'il me manquait.

Après on peut aussi montrer que le second crochet tend vers une limite finie en passant au log et en utilisant la règle des équivalents : on retrouve une série de référence. (Oui oui, j'y tenais beaucoup à mon passage au log).

Merci beaucoup.

limite d'une suite

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 28