théorème d'interversion somme intégrale

totolenul · November 2006

bonjour
j'ai deux petites questions à vous demander !

si on a à intervertir somme infine et intégrale dans l'ordre suivant
sigma(integarle(Un))=integrale(sigma(Un)) est ce qu'on doit avoir les mêmes hypothèses que pour intervertir somme integrale dans cette ordre -ci , integrale(sigma(Un))=sigma(integarle(Un) ?

une autre question:
est ce que t->cos(t²) est intégralble sur [0,+oo[ ?

merci

jean lismonde · November 2006

bonjour

pour la première question la réponse est oui

pour la seconde question la réponse est donnée par les applications intégrales de la fonction Gamma:

intégrale sur R+ de cos(t²).dt=cos(pi/4).Gamma(1+1/2) = rac(2.pi)/4

cordialement

totolenul · November 2006

merci bcp pour la réponse
mais j'ai pas compris comment vous avez fait pour l'intégrabilité de cost² ?

pouvez vous m'expliquer un peu?

merci

nicolas.patrois · November 2006

Elle est intégrable parce que continue (composée de fonctions continues).

totolenul · November 2006

oh, mais je sais bien qu'elle continue , mais le probleme est en +oo !!
merci nicolas

rnl0 · November 2006

Aucun rapport entre continuité et intégrabilité en effet. Et aucun raport entre l'intégrale entre 0 et x a une limite en $+\infty$ et l'intégrabilité. Dire qu'une fonctin est intégrable c'est dire que son module est intégrable, ie que son intégrale (qui est toujours définie) est bornée.

Pour les f fonctions positive : f intégrable sur $\R_{+}$ ssi $\int_{0}^{x}f(t)dt$ a une limite {\bf finie} en $+\infty$.

Ici, l'intégrale est convergente (ie a une limite en $+\infty$), mais la fonction n'est pas intégrable. Faut regarder l'intégrale entre 0 et x du module, et minorer ça gaiement : par exemple, on peut minorer l'intégrale de chaque pic par 1/2 fois la longueur de l'intervalle où le $cos(t^2)$ est supérieur à un demi, ce qui nous donne une série sympatoche, dont on montre qu'elle diverge. Ou on fait un changement de variable, on se retrouve avec un $\frac{|cos(u)|}{\sqrt u}$, qu'est plus grand qu'un $\frac{cos(u)}{u}$, dont on sait (ou pas

) qu'il diverge (mais on montre ça avec la même stratégie qu'avant, sauf que la série est beaucoup plus simple)...

Bref, $t\mapsto cos(t^2)$ est semi-intégrable.

Voilou

egoroff · November 2006

Salut totolenul (un cousin de Totole zéro ?)

Tu minorer $|\cos t^2|$ par une fonction valant $1/2$ sur tous les intervalles de la forme $[\sqrt{2k\pi-\pi/3},\sqrt{2k\pi+\pi/3}]$, dont l'intégrale est une somme de termes équivalents à $\dfrac{\sqrt{\pi}}{6\sqrt{2k}}$, terme général d'une série divergente, donc l'intégrale de $\cos t^2$ n'est pas convergente. Ce qui ne l'empêche pas d'être semi-convergente, et apparemment c'est le cas d'après jean Lismonde.

Toto.le.zero · November 2006

Je réfute tout lien de parenté avec totolenul !

nicolas.patrois · November 2006

Ha oui, j’avais oublié le +∞. Hop, une belle erreur de lecture de la consigne.

oumpapah2 · November 2006

Bonsoir,

Pour l'intégrale de cos(t²) (intégrale de Fresnel, intervenant en optique):

a) changement de variable ramenant à l'intégrale de Cosx/Vx

b) et pour cette nouvelle intégrale, utiliser Abel, ou procéder à une intégration par parties où interviendra une partie integrée à limite
et intégrale restante absolument convergente..

Le calcul effectif réclame des moyens plus sophistiqués.

Oump.

egoroff · November 2006

Je me permets d'ajouter :

c) Ecrire l'intégrale comme une série alternée.

oumpapah2 · November 2006

Pour Egoroff,

Hum, pas d'accord, ou alors on supprime le b)
Mais l'intégration par parties est la version "continue" de la sommation par parties, laquelle est la base des manips conduisant aux règles d'Abel..
Alors je préfère que les élèves aient le reflexe de base..

Oump.

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