Oui, par une bijection "triangulaire", qui doit être du genre
<BR>
<BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="216" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/12/101243/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \newline \Phi(i,j)=\frac{(i+j)(i+j+1)}{2}+j
\newline $"></DIV><P></P><BR>
On associe à chaque couple d'entiers le nombre de flèches par lesquelles il faut passer pour l'atteindre. À (0,0) on associe 0, à (1,0) on associe 1, à (0,1) on associe 2, etc. Cette bijection $\phi$ vérifie :
- $\phi(0,0)=0$
- $\phi(n,0)=\phi(0,n-1)+1$
- $\phi(n-1,m+1)=\phi(n,m)+1$
En résolvant la récurrence on trouve
\[ \phi(n,m) = \frac{1}{2} (n+m+1)(n+m) +m \]
Je te laisse vérifier que c'est bien bijectif.
On peut ensuite mettre $\N$ en bijection avec $\N^q$ pour $q \geq 3$ en définissant $\phi_q$ par récurrence :
- $\phi_2 = \phi$
- $\phi_{q+1}(x_1,...,x_{q+1}) = \phi_q(x_1,...,x_{q-1},\phi_2 (x_q,x_{q+1}))$
Réponses
<BR>
<BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="216" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/12/101243/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle \newline \Phi(i,j)=\frac{(i+j)(i+j+1)}{2}+j
\newline $"></DIV><P></P><BR>
Ci-joint un schéma.
On associe à chaque couple d'entiers le nombre de flèches par lesquelles il faut passer pour l'atteindre. À (0,0) on associe 0, à (1,0) on associe 1, à (0,1) on associe 2, etc. Cette bijection $\phi$ vérifie :
- $\phi(0,0)=0$
- $\phi(n,0)=\phi(0,n-1)+1$
- $\phi(n-1,m+1)=\phi(n,m)+1$
En résolvant la récurrence on trouve
\[ \phi(n,m) = \frac{1}{2} (n+m+1)(n+m) +m \]
Je te laisse vérifier que c'est bien bijectif.
On peut ensuite mettre $\N$ en bijection avec $\N^q$ pour $q \geq 3$ en définissant $\phi_q$ par récurrence :
- $\phi_2 = \phi$
- $\phi_{q+1}(x_1,...,x_{q+1}) = \phi_q(x_1,...,x_{q-1},\phi_2 (x_q,x_{q+1}))$
Ciao