convergence d'une série

gauss · November 2006

Bonjour à tous,

Voici une question d'un pb de concours qui me pose bien des problémes :

on définit pour tout n entier et toute fonction f continue sur I = [-1;1] le coefficient Cn(f) = <Pn,f> ou <,> est le produit scalaire classique défini sur l'ensemble des fonctions de I à valeurs dans C par :
-
<f,g> = intégrale de -1 à 1 de (fg) (attention à la conjuguée sur f)

enfin, Pn estl e polynome de l'unique suite qui vérifie :
Po = 1 ; P1 = X ;
et pour n dépassant 1, (2n +1)XPn = (n + 1)P'n+1 + nPn-1

Je vous donne qqs résultats intermédiares : (Pn) est une famille de polynômes orthogonaux pour ce produit scalaire, et || Pn ||² = 2/(2n+1).

Voici enfin ma question :
Montrer que la série de terme général (n+0,5) |Cn(f)|² est convergente.

Pour idée, j'ai essayé Cauchy Schwarz, ou encore remarqué que c'était la série des |Cn(f) : ||Pn|| |² mais nihil novi sub sole !
Voilà, pourriez-vous me donner un tuyau, c'est la 1° question de la 2° partie, ça ne doit pas être mortel pourtant !
Merci d'avance, bonne journée.
gauss

dark vador0 · November 2006

Hello
Est-ce bien (n+0,5) I cn(f)I^2 ?
Je penche pour (n+0,5)^-1 I cn(f)I
Essayez Cauchy S ou 2ab<a~^2+b^2
et Parseval ?
a+

gauss · November 2006

non, dans l'énoncé il y a bien marqué (n + 0,5)/Cn(f)/².

pourquoi Parseval? il n'y a pas a priori de fonction périodique.
gauss

egoroff · November 2006

Parseval marche dans n'importe quel espace de Hilbert.

gauss · November 2006

egoroff : pouvez-vous me rappeler ce que dit cette inégalité dans le cas général des espaces de Hilbert car je ne m'en souviens plus?
merci.
gauss

Gilles Benson0 · November 2006

vos polynomes sont certainement les polynomes de Legendre; vous pouvez écrire avec e_n = P_n/||P_n|| une famille orthonormale ce qui donne:
f = somme(n=0; infini, <f,e_n> e_n); donc:
f =somme(n=0,infini,||P_n||²< f,P_n>,P_n) .
La convergence de somme(n=0; infini, <f,e_n> e_n donne:
la série de t.g. ||P_n||²< f,P_n> est dans l² c'est-à-dire:
la série de t.g. (n + 1/2)²<f,P_n>² est donc convergente et par suite la votre;
vous aviez un pb de coordonnées, je pense

convergence d'une série

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