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±π · November 2006

Bonsoir
Si f et g sont 2 fonctions de ]0,+infini[ dans ]0,+infini[ telles que :
f~g au voisinage de 0 et log(f) et log(g) a valeurs dans ]0,+infini[
alors a-t-on log(f)~log(g) au voisinage de 0 ?
Je n'arrive pas à trouver un contre exemple !
Et si on a de plus f(x) ---> + infini quand x ---> 0 ?

Merci d'avance

±π · November 2006

j'ai oublié qlq chose ...
merci d'avance

egoroff · November 2006

Salut $\pm \pi$ (sympa ton pseudo !),

De mémoire, c'est faux si on ne suppose pas que $f$ et $g$ ont une limite commune $\ell$ qui doit être dans $]0,+\infty[$. On doit pouvoir trouver des contre-exemples pour $\ell=0$, $\ell=+\infty$ et quand $f$ n'a pas de limite. Mais bon ce sont des souvenirs lointains alors à prendre avec des pincettes.

GLaG · November 2006

C'est faux si f et g tendent vers 1 en 0 : $f(x)=1+x$ et $g(x)=1+x^2$ sont équivalentes en 0, alors que $\ln(1+x)$ et $\ln(1+x^2)$ ne le sont pas..

Si $f$ et $g$ sont de limites infinie en 0, le résultat est vrai : si $f(x)=(1+e(x)) g(x)$, alors $\ln(f(x))=\ln(g(x)) + \ln(1+e(x))$, et comme $e$ est de limite nulle en 0, on obtient bien le résultat souhaité.

egoroff · November 2006

Ben oui c'est GLaG qui a raison je me suis encore mélangé les pinceaux. Si ça marche pour une limite infinie ça doit marcher aussi pour une limite nulle en regardant $1/f$ et $1/g$.

GLaG · November 2006

(au passage, ce qui précède montre que le résultat est vrai dès que $\ln(g)$ admet une limite non nulle en 0, c'est en particulier le cas si $g$ admet une limite dans $[0,1[ \cup ]1,+\infty[$.)

±π · November 2006

mercin beaucoup egoroff et GLaG et bonne soiree

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