Suites de Farey

Je me permets d'ajouter une référence aux suites de Farey, issue de l'IREM de Clermont

<BR><a href=" http://wwwmaths.univ-bpclermont.fr/irem/lycee/arithmetique/pdf/farey.pdf"&gt; http://wwwmaths.univ-bpclermont.fr/irem/lycee/arithmetique/pdf/farey.pdf</a&gt;

<BR>Voila voila...

Lire $\displaystyle { \left | z - \frac {a}{c} - \frac {i}{2c^2} \right | = \frac {1}{2c^2}}$ ci-dessus.

Par ailleurs, concernant l'équivalence à HR donnée par Anonyme, on peut remplacer le grand $O$ par un petit $o$. Cela a été prouvé par Franel et Landau.

Borde.

Merci bien, Alain.
Borde.

[A ton service AD]

Je pourrais effectivement te parler de la méthode du cercle, et plus particulièrement de l'adaptation qu'en a fait Vinogradov, qui lui a permis, en 1937, de montrer que tout entier impair <B>suffisamment grand</B> est somme de 3 nombres premiers.
<BR>
<BR>Cela dit, avant que je me lance, il faut bien cibler jusqu'où tu es prêt à aller, car cette méthode est extrêmement compliquée et technique.
<BR>
<BR>En partance pour un conseil de classe, je ne pourrais pas me mettre à ce travail avant demain... A moins que, d'ici là, quelqu'un d'autre veuille bien s'y coller !
<BR>
<BR>Borde.<BR>

OK, je tenterai de te donner un aperçu de la méthode un peu plus tard...C'est assez difficile à "vulgariser". Mais, comme tu dis, si d'autres veulent également apporter leur contribution (il faut des connaissances solides en théorie analytique des nombres)...

A bientôt,

Borde.

{\bf Une (très) brève introduction à la méthode du cercle}.

Dans tout ce qui suit, on note traditionnellement la fonction $e(x) = e^{2 \pi i x}$.

Supposons que l'on souhaite connaître le nombre $r(N)=r_f(N)$ de solutions dans $[-N,N]^m$ (avec $N \geqslant 1$ entier) de l'équation $f(n) = f(n_1,...,n_m) = 0$ d'inconnues $n_1,...,n_m$, où $f$ est un polynôme de degré $d \geqslant 1$ à coefficients entiers. On suppose que $m$ est (bien) plus grand que $d$, et, heurisitiquement, on anticipe (!) que $r(N) \ll N^{m-d}$.

La formule de Cauchy donne : $$r(N) = \int_{0}^{1} \left ( \sum_{n \in [-N,N]^m} e \left ( x f(n) \right ) \right )\, dx.$$ Après bien des essais et réflexions, on constate que les points appartenant à des voisinages de nombres rationnels {\it à petits dénominateurs} apportent la plus grande contribution à l'intégrale.

Ainsi a-t-on eu l'idée (essentiellement due au triplet habituel Hardy/Littlewood/Ramanujan) de considérer deux classes de nombres réels $x \in [0,1]$ :

D'après le théorème de Dirichlet (dont j'ai rappelé un énoncé et une démonstration plus haut), chaque réel $x$ est tel que $\displaystyle { \left | x - \frac {a}{q} \right | < \frac {1}{qQ}}$, avec $1 \leqslant q \leqslant Q$ et $\mbox {pgcd} (a,q) = 1$, $Q \geqslant 1$ étant un nombre positif fixé. Soit alors $Q_1$ un réel vérifiant $2 \leqslant 2Q_1 \leqslant Q$. Si $x$ vérifie le théorème de Dirichlet avec $q \leqslant Q_1$, on dit que $x$ appartient à un {\bf arc majeur} noté $\mathcal {M}$, sinon il appartient à un {\bf arc mineur}.

Si $x \in \mathcal {M}$, on évalue la somme $$r_1(N;x) = \sum_{n \in [-N,N]^m} e(x f(n))$$ en la découpant selon les classes résiduelles $\pmod q$ : $$r_1(N;x) = \sum_{b \pmod q} e(af(b)/q) \sum_{n \in [-N,N]^m, \, n \equiv b \pmod q} e (\theta f(n))$$ avec $\theta = x - a/q$. L'idée ici est de dire que, puisque $|\theta| < 1/(qQ)$ est petit, on peut remplacer la somme sur les $b \pmod q$ par une intégrale avec un terme d'erreur petit.

On voit qu'il est nécessaire alors de disposer de bonnes estimations de certaines sommes d'exponentielles, ce à quoi ce sont employés à faire l'équipe de choc constituée par Weyl / Van der Corput / Vinogradov. En particulier, on peut montrer que, si $F \in C^2([a,b])$ telle que $|F'(x)| \leqslant 1 - \lambda$ et $F''(x) \not = 0$ ($x \in [a,b]$), alors on a : $$\sum_{a < n \leqslant b} e(F(n)) = \int_{a}^{b} e(F(x)) \, dx + O \left ( \lambda^{-1} \right ).$$ Appliquant ce résultat ici, on montre que, si $Q \gg N^{d-1}$ (ce qui permet d'avoir les dérivées partielles de $f$ majorées par $\ll Q$), on obtient : $$\sum_{n \in [-N,N]^m, \, n \equiv b \pmod q} e (\theta f(n)) = q^{-m} \int_{[-N,N]^m} e(\theta f(x)) \, dx + O \left ( (1+Nq^{-1})^{m-1} \right ).$$ On note que cette intégrale ne dépend pas des classes résiduelles $b \pmod q$ (alors que, dans certaines versions plus sophistiquées de la méthode du cercle, une telle dépendance peut apparaître, ce qui complique fâcheusement les choses), et, en sommant, il vient ainsi : $$r_1(N) = S(a/q) \int_{[-N,N]^m} e(\theta f(x)) \, dx + O \left (q(N+q)^{m-1} \right ),$$ avec $$S(a/q) = q^{-m} \sum_{b \pmod q} e (a f(b) /q).$$

La suite de l'histoire consiste à intégrer sur les arcs majeurs l'estimation précédente, puis à disposer d'estimation de sommes complètes d'exponentielles (ici ce sont en fait des sommes sur des caractères additifs de $\mathbb {F}_q$) meilleures que l'estimation triviale $|S(a/q)| \leqslant q^{1-m}$, de traiter les $x$ appartenant aux arcs mineurs, de collecter tous ces résultats, ce qui conduit au théorème (que l'on peut qualifier de fondamental) suivant :

{\bf Th}. {\it Soient $f_1(x_1),...,f_m(x_m)$ des polynômes de degrés $d \geqslant 2$ à coefficients entiers, et $N \geqslant 1$ entier. On suppose que $m > d 2^{d+1}$. Alors, le nombre $r_f(N)$ de solutions entières de l'équation $f_1(x_1) + ... + f_m(x_m) = 0$ dans le pavé $[-N,N]^m$ vérifie} : $$r_f(N) = a_f I_f(N) + O \left ( N^{m-d- \delta} \right ),$$ {\it où $\delta > 0$ petit, $a_f$ est une certaine série et $I_f(N)$ est l'intégrale singulière} $$I_f(N) = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T} \left ( \int_{[-N,N]^m} e \left ( \theta f(x) \right ) \, dx \right ) \, d \theta.$$

J'espère avoir montré les idées qui ont conduit à l'élaboration de tels outils si sophistiqués.

Borde (corrections effectuées. Message précédent à supprimer. Merci).

De rien, Anonyme, mais ça a été plutôt casse-pied de taper cela en LaTeX...Ceci dit, si tu as des questions...

Borde.