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Suites de Farey

Envoyé par anonyme 
anonyme
Suites de Farey
il y a treize années
<latex> Bonjour a tous,

La suite de Farey a l'ordre n est la suite de fractions irreductibles dont le denominateur est inferieur ou egal a n ranges dans l'ordre croissant

Elles ont plein de propietes et je cherche des demonstrations les concernant

Les voici

-Soit a/b et c/d deux termes consecutifs d'une suite de Farey.
Alors bc-ad=1

-soit a/b, c/d, e/f trois termes consecutifs d'une suite de Farey
Alors c/d =a+e/f+d

-Et le plus impressionant de tout, c'est qu'une de ces propietes non demontree est equivalente a l'hypothese de Riemann.

La voici:

Soit $m$ le nombre de termes de la suite de farey d'ordre $n$
Si quelque soit n

$\sum_{i=0}^{m}F_n(i)-\frac{i}{m} = O(x^e)

Avec $e>1/2$ et $F_n(i)$ designe le i-eme terme de la suite de farey d'ordre n
Re: Suites de Farey
il y a treize années
avatar
Je me permets d'ajouter une référence aux suites de Farey, issue de l'IREM de Clermont

<BR><a href=" [wwwmaths.univ-bpclermont.fr]; [wwwmaths.univ-bpclermont.fr];

<BR>Voila voila...
Re: Suites de Farey
il y a treize années
<latex> Tu as aussi les cercles de Ford associé aux suites de Farey : à chaque $a/c$ (avec $c \geqslant 1$ et $\mbox {pgcd} (a,c) =1$), on associe le cercle $\displaystyle { \left | z - \frac {a}{c} - \frac {i}{2c^2} \right |}$, noté $\mathcal {C}(a/c)$ et appelé cercle de Ford. Ces cercles sont tangents ssi ils sont associés à des fractions consécutives de la suite de Farey.

Ces fractions sont apparues "naturellement" en théorie analytique des nombres, lorsqu'Hardy et Littlewood ont présenté leur faleuse "méthode du cercle", d'abord appliquée aux problèmes célèbres de théorie additive des nombres (Goldbach, Waring, ...), puis utilisée par Vinogradov pour son extraordinaire (et très compliquée) méthode d'estimation de certaines sommes d'exponentielles.

Quelques résultats.

Soit $Q \geqslant 1$ entier, et $\mathcal {F}(Q)$ l'ensemble des fractions de Farey de dénominateur $\leqslant Q$. Alors :

{\bf Prop 1}. Soit $I$ un intervalle de longueur $L$. Le nombre d'élements de $\mathcal {F}(Q)$ appartenant à $I$ est $\leqslant LQ^2 + 1$.

{\bf Prop 2} (théorème d'approximation de Dirichlet). Soit $x \in \R$ et $Q \geqslant 1$ entier. Alors, il existe un rationnel $a/q$ avec $q \leqslant Q$ tel que $\displaystyle { \left | x - \frac {a}{q} \right | \leqslant \frac {1}{q(Q+1)}}$.

{\bf Preuve}. On suppose $x \not \in \Q$, sinon $x=a/q$ convient. $x$ est alors compris entre deux fractions de Farey $e/r$ et $f/s$ de médiane $(e+f)/(r+s)$. Si $x \leqslant (e+f)/(r+s)$, alors on peut prendre $a/q = e/r$, puisque : $$\left | x - \frac {a}{q} \right | \leqslant \left | \frac {e+f}{r+s} - \frac {e}{r} \right | = \frac {1}{r(r+s)} \leqslant \frac {1}{r(Q+1)},$$ puisque la médiane n'appartient pas à $\mathcal {F}(Q)$. Evidemment, si $x > (e+f)/(r+s)$, alors on prendra $a/q = f/s$. CQFD.

Borde.
Re: Suites de Farey
il y a treize années
Merci bien, Alain.
Borde.

[A ton service :) AD]
anonyme
Re: Suites de Farey
il y a treize années
Apparament il manque la fin du message: je vous la réecris:

Comment démontre-t-on la dernière propriété ? (J'ai déjà un schéma de preuve pour les deux autres : ça n'a pas l'air compliqué)

Merci beuacoup AD et Longjing pour la correction du latex (j'oublie toujours un $ !!) et merci Longjing pour ta référence

Borde,
Merci beaucoup pour ta réponse plus que complète.
Mais qu'est-ce que la différence entre grand O et petit o ?

A ce qu'il parait Vinogradov a démontré suite à des calculs très très laborieux que la conjecture de Goldbach est démontrée pour des entiers assez grands.
Il l'a fait en employant la méthode du cercle de Hardy-Littlewood
Cette fameuse "méthode du cercle", j'en ai entendu parler à maintes reprises. Malheureusement, je ne sais pas ce que c'est.
Peux-tu (ou qqun d'autre) m'éclaircir ?

Merci d'avance
Re: Suites de Farey
il y a treize années
Je pourrais effectivement te parler de la méthode du cercle, et plus particulièrement de l'adaptation qu'en a fait Vinogradov, qui lui a permis, en 1937, de montrer que tout entier impair <B>suffisamment grand</B> est somme de 3 nombres premiers.
<BR>
<BR>Cela dit, avant que je me lance, il faut bien cibler jusqu'où tu es prêt à aller, car cette méthode est extrêmement compliquée et technique.
<BR>
<BR>En partance pour un conseil de classe, je ne pourrais pas me mettre à ce travail avant demain... A moins que, d'ici là, quelqu'un d'autre veuille bien s'y coller !
<BR>
<BR>Borde.<BR>
anonyme
Re: Suites de Farey
il y a treize années
Non merci, borde!!

Je sais deja que la preuve de Vinogradov est longue et fastidieuse.
Puis si tu as des conseils de classe, autant ne pas te fatiguer.

Je veux seulement connaitre "a peu pres" la methode du cercle.
Re: Suites de Farey
il y a treize années
OK, je tenterai de te donner un aperçu de la méthode un peu plus tard...C'est assez difficile à "vulgariser". Mais, comme tu dis, si d'autres veulent également apporter leur contribution (il faut des connaissances solides en théorie analytique des nombres)...

A bientôt,

Borde.
Re: Suites de Farey
il y a treize années
<latex> {\bf Une (très) brève introduction à la méthode du cercle}.

Dans tout ce qui suit, on note traditionnellement la fonction $e(x) = e^{2 \pi i x}$.

Supposons que l'on souhaite connaître le nombre $r(N)=r_f(N)$ de solutions dans $[-N,N]^m$ (avec $N \geqslant 1$ entier) de l'équation $f(n) = f(n_1,...,n_m) = 0$ d'inconnues $n_1,...,n_m$, où $f$ est un polynôme de degré $d \geqslant 1$ à coefficients entiers. On suppose que $m$ est (bien) plus grand que $d$, et, heurisitiquement, on anticipe (!) que $r(N) \ll N^{m-d}$.

La formule de Cauchy donne : $$r(N) = \int_{0}^{1} \left ( \sum_{n \in [-N,N]^m} e \left ( x f(n) \right ) \right )\, dx.$$ Après bien des essais et réflexions, on constate que les points appartenant à des voisinages de nombres rationnels {\it à petits dénominateurs} apportent la plus grande contribution à l'intégrale.

Ainsi a-t-on eu l'idée (essentiellement due au triplet habituel Hardy/Littlewood/Ramanujan) de considérer deux classes de nombres réels $x \in [0,1]$ :

D'après le théorème de Dirichlet (dont j'ai rappelé un énoncé et une démonstration plus haut), chaque réel $x$ est tel que $\displaystyle { \left | x - \frac {a}{q} \right | < \frac {1}{qQ}}$, avec $1 \leqslant q \leqslant Q$ et $\mbox {pgcd} (a,q) = 1$, $Q \geqslant 1$ étant un nombre positif fixé. Soit alors $Q_1$ un réel vérifiant $2 \leqslant 2Q_1 \leqslant Q$. Si $x$ vérifie le théorème de Dirichlet avec $q \leqslant Q_1$, on dit que $x$ appartient à un {\bf arc majeur} noté $\mathcal {M}$, sinon il appartient à un {\bf arc mineur}.

Si $x \in \mathcal {M}$, on évalue la somme $$r_1(N;x) = \sum_{n \in [-N,N]^m} e(x f(n))$$ en la découpant selon les classes résiduelles $\pmod q$ : $$r_1(N;x) = \sum_{b \pmod q} e(af(b)/q) \sum_{n \in [-N,N]^m, \, n \equiv b \pmod q} e (\theta f(n))$$ avec $\theta = x - a/q$. L'idée ici est de dire que, puisque $|\theta| < 1/(qQ)$ est petit, on peut remplacer la somme sur les $b \pmod q$ par une intégrale avec un terme d'erreur petit.

On voit qu'il est nécessaire alors de disposer de bonnes estimations de certaines sommes d'exponentielles, ce à quoi ce sont employés à faire l'équipe de choc constituée par Weyl / Van der Corput / Vinogradov. En particulier, on peut montrer que, si $F \in C^2([a,b])$ telle que $|F'(x)| \leqslant 1 - \lambda$ et $F''(x) \not = 0$ ($x \in [a,b]$), alors on a : $$\sum_{a < n \leqslant b} e(F(n)) = \int_{a}^{b} e(F(x)) \, dx + O \left ( \lambda^{-1} \right ).$$ Appliquant ce résultat ici, on montre que, si $Q \gg N^{d-1}$ (ce qui permet d'avoir les dérivées partielles de $f$ majorées par $\ll Q$), on obtient : $$\sum_{n \in [-N,N]^m, \, n \equiv b \pmod q} e (\theta f(n)) = q^{-m} \int_{[-N,N]^m} e(\theta f(x)) \, dx + O \left ( (1+Nq^{-1})^{m-1} \right ).$$ On note que cette intégrale ne dépend pas des classes résiduelles $b \pmod q$ (alors que, dans certaines versions plus sophistiquées de la méthode du cercle, une telle dépendance peut apparaître, ce qui complique fâcheusement les choses), et, en sommant, il vient ainsi : $$r_1(N) = S(a/q) \int_{[-N,N]^m} e(\theta f(x)) \, dx + O \left (q(N+q)^{m-1} \right ),$$ avec $$S(a/q) = q^{-m} \sum_{b \pmod q} e (a f(b) /q).$$

La suite de l'histoire consiste à intégrer sur les arcs majeurs l'estimation précédente, puis à disposer d'estimation de sommes complètes d'exponentielles (ici ce sont en fait des sommes sur des caractères additifs de $\mathbb {F}_q$) meilleures que l'estimation triviale $|S(a/q)| \leqslant q^{1-m}$, de traiter les $x$ appartenant aux arcs mineurs, de collecter tous ces résultats, ce qui conduit au théorème (que l'on peut qualifier de fondamental) suivant :

{\bf Th}. {\it Soient $f_1(x_1),...,f_m(x_m)$ des polynômes de degrés $d \geqslant 2$ à coefficients entiers, et $N \geqslant 1$ entier. On suppose que $m > d 2^{d+1}$. Alors, le nombre $r_f(N)$ de solutions entières de l'équation $f_1(x_1) + ... + f_m(x_m) = 0$ dans le pavé $[-N,N]^m$ vérifie} : $$r_f(N) = a_f I_f(N) + O \left ( N^{m-d- \delta} \right ),$$ {\it où $\delta > 0$ petit, $a_f$ est une certaine série et $I_f(N)$ est l'intégrale singulière} $$I_f(N) = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T} \left ( \int_{[-N,N]^m} e \left ( \theta f(x) \right ) \, dx \right ) \, d \theta.$$

J'espère avoir montré les idées qui ont conduit à l'élaboration de tels outils si sophistiqués.

Borde (corrections effectuées. Message précédent à supprimer. Merci).
anonyme
Re: Suites de Farey
il y a treize années
Merci beaucoup, borde!
Re: Suites de Farey
il y a treize années
De rien, Anonyme, mais ça a été plutôt casse-pied de taper cela en LaTeX...Ceci dit, si tu as des questions...

Borde.
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