Je ne sais pas démontrer l'égalité mais je sais calculer la première intégrale ; on intègre d'abord en $y$ en faisant le changement de variable $u=y \sqrt{x}$ ($x$ fixé), puis en $x$ en faisant le changement de variable $v=\sqrt{x}$, et sauf erreur on tombe sur $\pi^2 / 2$.
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Je ne sais pas démontrer l'égalité mais je sais calculer la première intégrale ; on intègre d'abord en $y$ en faisant le changement de variable $u=y \sqrt{x}$ ($x$ fixé), puis en $x$ en faisant le changement de variable $v=\sqrt{x}$, et sauf erreur on tombe sur $\pi^2 / 2$.
on intègre ensuite entre $0$ et $A$ puis on passe à la limite quand $A$ tend vers l'infini:
$ \int_{0}^{A} \frac{1}{((1-y^2)(1+x)} - \frac{y^2}{(1-y^2)(1+xy^2)}
= \lim_{A \longrightarrow \infty} \frac{1}{1-y^2} (lnA - ln(1+Ay^2))
= \frac{1}{1-y^2} - ln(y^2)
= \frac{-2lny}{1-y^2}$
donc:
$ \int_{0}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{(1+x)(1+xy^2)} dxdy
= 2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{lny}{y^2 - 1}dy $