suites et séries

anto0 · December 2006

soit ($u_n$) une suite décroissante à termes positifs telle que:
la série de terme général $u_n$ converge vers L.
montrer que $n*$u_n$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

si on peut montrer que (n*$u_n$) admet forcément une limite l (elle sera forcément finie puisqu' on borne facilement (n$u_n$) par 0 et L) je peux me débrouiller (en supposant l=/=0 et dans ce cas $u_n$ est l/n, et en utilisant le théorème de comparaison sur les séries, on arrive à une contradiction)
mais est-ce vraiment le cas, si oui comment le montrer sinon comment faire l'exo?
merci de votre aide.

anto0 · December 2006

mon message ne c'est pas affiché!
<BR>il faut cliquer sur "code latex" pour pouvoir le lire.
<BR>désolé !<BR>

egoroff · December 2006

anto a écrit :

soit $(u_n)$ une suite décroissante à termes positifs telle que:
la série de terme général $u_n$ converge vers $L$.
montrer que $n u_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.

si on peut montrer que $(n u_n)$ admet forcément une limite $\ell$ (elle sera forcément finie puisqu' on borne facilement $(n u_n)$ par $0$ et $L$) je peux me débrouiller (en supposant $\ell \neq 0$ et dans ce cas $u_n$ est $\ell/n$, et en utilisant le théorème de comparaison sur les séries, on arrive à une contradiction)
mais est-ce vraiment le cas, si oui comment le montrer sinon comment faire l'exo?
merci de votre aide.

anto0 · December 2006

j'ai oublié un mot ligne 6, il faut lire $u_n$ est équivalent à l/n.

oumpapah2 · December 2006

Bonsoir

on peut montrer à la main que nu(n) tend vers 0
( d'ailleurs par divergence de la serie harmonique si la limite de nu(n) existe elle est forcement nulle (avec l'hypothese initiale sur la convergence de la serie de tg u(n))

mais c'est un sous produit de l'exo (classique) suivant:

soit u suite positive decroissante et de limite nulle
on pose v(n)=n( u(n)-u(n+1))

prouver que les series de terme général u(n) et v(n) sont de meme nature

( et si elle convergent les sommes de n=1 à l'infini sont egales)

Oump.

anto0 · December 2006

J'avais déjà essayé de passer par là, mais je n'y arrive pas.

loupiot · December 2006

Bonjour,

$ (u_n)$ étant décroissante, $ n u_n$ est inférieure à $ \sum_{i=0}^{n-1} u_i$. Or, les $ u_i$ sont positifs ET la suite des sommes partielles de la série de terme général $ u_n$ converge...

loupiot · December 2006

Non, mieux :

$ S_0 = \sum_{i=0}^{\infty} u_i$ existe, donc, $ S_1 = \sum_{i=1}^{\infty} u_i$ aussi, et ainsi pour tout $ S_n$. $ S = \sum_{k=0}^{\infty} S_k $ existe (passage à la limite des sommes partielles finies de $ S_k$). Et comme les $ u_i$ sont positifs (famille sommable), $ S $ est aussi la somme de la série de terme général $ n u_n$ (qui converge, par conséquent). Donc, la suite $ (n u_n)$ tend vers $ 0 $.

J'espère que c'est rédigé correctement...

oumpapah2 · December 2006

pour Loupiot

ya un lézard .. contemple u(n)=1/n².. et nu(n)=1/n...

pour Anto

coup de pouce
on suppose la convergence de la serie de tg u(n) ( avec l'hypothese que
u(n) tend vers 0 en décroissant)
on évalue la somme partielle V(n)=v(1)+..+v(n)..

on a V(n)=U(n) -nu(n+1) <=U(n)

(avec U(n)=u(1)+..+u(n))

je te laisse poursuivre..

(et il te restera la reciproque à faire comme exo ( à savoir si la serie de tg
v(n) converge , il en est de meme de celle de tg u(n) ;
coup de pouce à suivre si tu n'y arrives pas..)

Oump

Déde0 · December 2006

je n'ai peut-etre pas tout compris mais il me semble qu'en regardant le restes , c'est quasiment immédiat et que l'on a même que la suite $n^ku_n$ tend vers $0$ (avec $k \in \N$)

loupiot · December 2006

Hum... le lézard doit être un passage à la limite un peu intempestif !
En fait, il faudrait avoir en hypothèse supplémentaire l'existence de $ S$.

Dommage !

Aleg · December 2006

autre piste (en notant $S_n$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série $\Sigma\,u_n$) :
$$2n\,u_{2n}\leq 2(u_{2n}+u_{2n-1}+\dots +u_{n+1})=2(S_{2n}-S_n)$$
d'où $(2n\,u_{2n})$ converge vers $0$.
De plus,
$$(2n+1)\,u_{2n+1}=2n\,u_{2n+1}+u_{2n+1}\leq 2n\,u_{2n}+u_{2n+1} $$ donc $((2n+1)\,u_{2n+1})$ converge aussi vers $0$, et c'est fini.

anto0 · December 2006

je ne comprends pas pourquoi dans le messages de Oumpapah on a V(n)=U(n) -nu(n+1) <=U(n). Il me semble que c'est faux!

arno_nora · December 2006

loupiot >> "$ (u_n)$ étant décroissante, $ n u_n$ est inférieure à $ \sum_{i=0}^{n-1} u_i$. "
c'est assez bien comme raisonnement, tu m'épates
je pense qu'on peut poursuivre, je regarderai ça ce soir

suites et séries

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