Série Harmonique
dans Analyse
Bonjour,
Je suis collé à une question d'un problème où il faut montrer que la suite
Sn=Un- ln(n+1) est croissante, avec Un étant la série harmonique.
J'ai essayé de trouver le signe de S(n+1)-Sn ou de faire une récurrence mais je n'avance à rien.
PS: je suis en TS et je n'ai pas encore vu les intégrales (parceque un copain a essayé de m'expliquer avec les intégrales)
Merci d'avance
Je suis collé à une question d'un problème où il faut montrer que la suite
Sn=Un- ln(n+1) est croissante, avec Un étant la série harmonique.
J'ai essayé de trouver le signe de S(n+1)-Sn ou de faire une récurrence mais je n'avance à rien.
PS: je suis en TS et je n'ai pas encore vu les intégrales (parceque un copain a essayé de m'expliquer avec les intégrales)
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Réponses
Mais $ln(1+x) < x$ (as tu fait les dérivées et le théorème des accroissements finis ?) .. etc ..
Un peu de fantaisie ..
Un très grand merci de me répondre à cette heure si tardive, moi je n'arrive pas à dormir because énervé par cette astuce que j'aurais du voir. Non je n'ai pas fait les accroissements finis, ce n'est plus au programme je crois mais j'ai déjà montré l'inégalité
Encore merci
J'ai réussi à montrer que la suite Sn converge vers un réel a strictement compris entre 0 et 1 et on me demande de montrer qu'il existe un réel Op (theta indice p) dans ]0,1[ tel que :
Un-ln(n)=a + Op/p où Un est la série harmonique
Cette question m'est abstraite, je n'arrive pas à la"visualiser", et c'est quoi Op?
Merci d'avance
Il ne faut pas se laisser avoir par l'aspect compliqué de la fomule, en fait c'est assez simple. Tu as montré que $u_n-\ln n$ convergeait vers $a$. Ceci ne veut pas dire que cette suite est toujours égale à $a$, mais elle est égale à $a$ plus un petit écart qui tend vers $0$. On décide d'appeler $\theta_n / n$ ce petit écart, pourquoi pas. Alors $\theta_n$ est égal à $n$ fois le petit écart, qui s'exprime simplement en fonction de $u_n$, $\ln n$ et $a$.
En revanche c'est bizarre de mélanger des $n$ et des $p$, ou alors je n'ai pas compris.
Pardonnez si ma question vous semble idiote, mais comme le prof fait souvent du hors programme, je ne sais pas si ici c'est le cas
Ps: effectivement, le mélange des n et des p est du à une erreur de ma part, il n'y a que des n, ou que des p
Tu dois montrer que $\theta_n \in ]0,1[$
montre que $U_n-ln(n)=U_n-ln(n+1)+ln(1+1/n)$ pour n est non nul
ensuite que $U_n-\ln n0$
sers toi de $(S_n)_n$ et de sa croissance
Ici on a dit que $u_n$ se comportait en gros comme $\ln n$. Ensuite on affine le développement : on regarde le comportement de $u_n - \ln n$ et on voit que ça tend vers une constante $a$, donc une approximation plus précise de $u_n$ est $\ln + a$. Plus précise en ce sens que la différence $u_n - (\ln n + a)$ est plus petite que la différence $u_n - \ln n$.
Cette différence tend vers $0$, mais peut-on quantifier ceci ? Dire "à quelle vitesse" cette convergence se fait ? On "devine" que l'écart va être inversement proportionnel à $n$, reste à savoir quel est le coefficient de proportionalité. Disons qu'il vaut $\theta$. Donc en gros on a envie de dire que $u_n - \ln n - a = \theta / n$. Bien entendu il n'y a aucune raison que cette égalité soit vérifiée pour tout $n$ avec exactement le même $\theta$, ça serait trop beau. Donc on appelle plutôt $\theta_n / n$, et on essaye de voir si $\theta_n$ à une limite $\theta$, et dans ce cas $u_n - \ln n - a$ sera approximativement égal à $\theta / n$ et on aura rajouté un terme dans le développement.
Tu vois que, comme les décimales d'un nombre qui représentent des quantités de plus en petites, notre développement de $u_n$ est formé de termes de plus en plus petits : le premier, $\ln n$, tend vers $+\infty$ ; le second, $a$, est une constante donc tend vers une limite finie non nulle ; le troisième, $\theta / n$, tend vers $0$. Mais ce qui est plus important c'est que chaque terme est négligeable devant le précédent, ce qui revient à dire que le quotient tend vers $0$ : $a / \ln n$ et $(\theta / n) / a = \theta / an$ tendent vers $0$. On peut continuer à développer : le prochain terme sera de la forme $\beta / n^2$, qui est bien négligeable devant le précédent $\theta / n$ : le quotient $(\beta / n^2) / (\theta / n)=\beta / n \theta$ tend bien vers $0$.
Bon la théorie générale est peut-être un peu compliquée en terminale mais les idées sont dans le devoir de ton prof qui a l'air intéressant d'ailleurs.
On la note généralement $\gamma$ et elle s'appelle la constante gamma d'Euler (des fois on rajoute constante d'Euler-Mascheroni).
Une question ouverte sur cette constante est de savoir si $gamma$ est rationnelle ou pas.
Enfin, on peut théoriquement utiliser ce que egoroff appelle le développement asymptotique" que tu as trouvé pour calculer $gamma$ (je mets théoriquement parce que j'ignore totalement si c'est faisable sur ordianteur avec cette méthode)
Ah oui et $\gamma$ vaut a peu près $0.557215..$
pour montrer ça tu peux montrer que $(U_n-\ln n)_n$ est décroissante.
tu as l'inégalité $ 1/(n+1) \leq ln(n+1)-ln(n) \leq 1/n$ pour t'aider (accroissements finis)
Pour Arno-Nora: les accroissements finis ne sont plus au programme, mais j'ai quand meme réussi à montrer l'inégalité.
Je continue à réflèchir sur la suite du pb et je me permettrai de faire de nouveau appel à vous si vous ne voyez pas d'inconvénient
Ps:c'est la formulation des questions qui me sont souvent incompréhensibles dans ce problème
Voilà, je bloque encore sur une question dont la formulation m'est très abstraite :
Déterminer un rang n à partir duquel on sera assuré d'avoir en Sn (Sn=Un -ln(n) où Un est la série harmonique) une valeur approchée de "a" à 0,001 près
Merci encore
$ \theta_n/n=(U_n-\ln n-a)$
or $\theta_n$ est dans ]0,1[,
donc $0\leq S_n-a \leq 1/n$
tu cherches un rang à partir duquel $|S_n-a| \leq 0,001$ (un rang et pas le plus petit)
tu vois comment faire ?
Pourquoi Sn-a est supérieur à 0? J'ai montré que la suite Sn croit vers a donc on a plutot Sn-a inférieur à 0 non?
$v_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} - log(n)$ est une suite décroissante et
$u_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} - log(n+1)$ est une suite croissante;
donc soustraire 1 dans le logarithme modifie pas mal de choses...
en plus, et cela doit pouvoir aider, elles sont adjacentes
ce qui va permettre un calcul approché de leur limite un peu plus précis.
dans le message juste au dessus, je parlais de Tn et non pas de Sn, mais c'est toi qui m'a induit en erreur.
Sn=Tn-ln(1+1/n), la différence entre Sn et Tn est de l'ordre de 1/n, ce qui est quand même une différence.
elles ont la même limite a
Sn est croissante et Tn est décroissante
donc $S_n \leq a \leq T_n$
Pour montrer la croissance et la décoissance tu as l'inégalité $ 1/(n+1) \leq ln(n+1)-ln(n) \leq 1/n$ pour t'aider (accroissements finis)
J'ai démontré aussi que ces deux suites sont adjacentes.
Or la question est : Déterminer un rang n à partir duquel on sera assuré d'avoir en Sn (Sn=Un -ln(n) où Un est la série harmonique) une valeur approchée de "a" à 0,001 près, c'est à dire de trouver une val approchée de Sn à partir d'un certain rang (et non de Tn). Je n'arrive pas à voir le rapport
Merci de votre indulgence
de toute façon, $T_n=S_n+ln(1+1/n)$
donc $S_n \geq T_n-1/n$, donc $S_n -a \geq T_n-a -1/n$
$-1/n \leq S_n-a \leq 0 \leq T_n-a \leq 1/n $
ou encore $a-1/n \leq S_n \leq a \leq Tn \leq a+1/n$
maintenant si on pose $V_n= \dfrac{S_n+T_n}{2}$ la moyenne des 2,
on a $S_n\leq V_n \leq T_n$ et $V_n-S_n=T_n-V_n=1/2ln(1+1/n)$
et donc $|V_n-a|\leq 1/n-1/2ln(1+1/n) \leq \dfrac{n+2}{2n(n+1)}$
$\dfrac{n+2}{2n(n+1)}\leq 0,01$
et $V_{51}=U_{51}-1/2(ln(51)+ln(52))$
ma calculatrice donne $V_{51} \sim{} 0,577...$
les premières décimales du vrai nombre a sont 0,577215..
on est bon