Bonjour
$X$ espace localement compact séparable
m mesure de radon positive sur $X$
Est-il vrai que l'ensemble des fonctions $f$ de L^2 tq $f(t) \neq 0$ presque partout est dense dans L^2.
soit $F \in L^2(X)$. On aimerait l'approcher, pour la norme $L^2(X)$, par des fonctions qui ne sont presque jamais nulles. Si $Z_F = \{x : F(x)=0\}$ est négligeable, c'est fini. Supposons donc que $Z_F$ est de mesure non nulle.
1/ si $Z_F$ est de mesure finie, if suffit d'approcher $F$ par $F + \epsilon 1_{Z_F}$, $\epsilon > 0$.
2/ si $Z_F$ est de mesure infinie. On doit surement pouvoir écrire $Z_F$ comme une union dénombrable disjointe d'ensembles $E_i$, tous de mesure finie grâce aux hypothèses sur $X$ et la mesure ( je n'ai plus les arguments en tête). Supposons donc que $Z_F = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i$, les $E_i$ étant disjoints et de mesure finie. On choisit une suite $u_i>0$ telle que $\sum u_i^2 m(E_i) < \infty$, ce qui permet de définir la fonction $P = \sum_i u_i 1_{E_i}$ qui est strictement positive exactement sur $Z_F$, et de carré intégrable. On approche ensuite $F$ par $F+\epsilon P$
je sais qu'un espace métrique, localement compact et connexe est une union dénombrable de compacts, ce qui règle le problème ici si l'espace est supposé métrique connexe (pas besoin de séparabilité). Est ce qu'un espace séparable et localement compact est une union dénombrable de compacts ?
>est-ce qu'un espace E séparable et localement compact est union dénombrable de compacts: réponse: oui car tout élément e de E est à proximité d'un terme $x_{k_e} de la suite $(x_n)$ dense dans E; il est donc possible de choisir un voisinage compact de ce terme contenant e.
>est-ce qu'un espace E séparable et localement compact est union dénombrable de compacts:
réponse: oui
car tout élément e de E est à proximité d'un terme $x_{k,e}$ de la suite $(x_n)$ dense dans E; il est donc possible de choisir un voisinage compact de ce terme contenant e. Et ceux-ci recouvrent E.
Attention, il n'est pas clair (je me suis fait avoir plusieurs fois) qu'en choisissant un voisinage de chaque point d'une partie dense on recouvre l'espace, même avec des voisinages compacts. Par exemple si on choisit un irrationnel $\alpha$, et pour tout rationnel $q$ la boule ouverte de centre $q$ et de rayon $|q-\alpha|$ (ou la boule fermée de rayon $|q-\alpha| / 2$ si on veut des voisinages compacts), alors l'union des voisinages est $\R \setminus \{ \alpha \}$.
la "démonstration" que j'ai donnée pèche car le voisinage compact dépend de
de l'élément de E et du terme de la suite dense dont il est proche;
c'est pour cela qu'il faut l'hypothèse métrisable.
oui, c'est comme si on voulait récouvrir $\mathbb{R}$ avec les boules centrées sur les rationels $r_n$, et de rayon $\frac{1}{2^n}$ .. ca ne marche pas. Et je ne voit pas comment l'hypothèse métrisable fait marcher mieux les choses ?
oui, certes mais voici une nouvelle mouture:
pour tout e de E, on choisit un voisinage ouvert de e noté U(e).
on peut trouver un x(n,e) de la partie dénombrable partout dense qui se trouve dans U(e).
Pour un entier n, on pose A(n) = {e de E tels que x(n) est dans U(e)}
tous les U(e) pour e dans A(n) sont des voisinages de x(n) qui possède une base de voisinages compacts dénombrable; on peut donc trouver une suite de voisinages compacts de x(n) qui contiendront les éléments de A(n).
ce qui doit donner le résultat.
Par contre, je suis désolé, j'ai revendu les deux tomes de topologie de Bourbaki (les gros pavés reliés avec des jaquettes grises de chez Hermann) que je possédais et cela fait déjà 15 ans... et je ne peux donc pas vérifier tout cela; j'ai bien counterexamples in topology de Steen et Seebach mais un chien ne retrouverait pas ses chiots dedans; quant à mon Choquet, je ne sais pas où il est; je serai plus motivé demain.
Réponses
1/ si $Z_F$ est de mesure finie, if suffit d'approcher $F$ par $F + \epsilon 1_{Z_F}$, $\epsilon > 0$.
2/ si $Z_F$ est de mesure infinie. On doit surement pouvoir écrire $Z_F$ comme une union dénombrable disjointe d'ensembles $E_i$, tous de mesure finie grâce aux hypothèses sur $X$ et la mesure ( je n'ai plus les arguments en tête). Supposons donc que $Z_F = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i$, les $E_i$ étant disjoints et de mesure finie. On choisit une suite $u_i>0$ telle que $\sum u_i^2 m(E_i) < \infty$, ce qui permet de définir la fonction $P = \sum_i u_i 1_{E_i}$ qui est strictement positive exactement sur $Z_F$, et de carré intégrable. On approche ensuite $F$ par $F+\epsilon P$
réponse: oui
car tout élément e de E est à proximité d'un terme $x_{k,e}$ de la suite $(x_n)$ dense dans E; il est donc possible de choisir un voisinage compact de ce terme contenant e. Et ceux-ci recouvrent E.
de l'élément de E et du terme de la suite dense dont il est proche;
c'est pour cela qu'il faut l'hypothèse métrisable.
pour tout e de E, on choisit un voisinage ouvert de e noté U(e).
on peut trouver un x(n,e) de la partie dénombrable partout dense qui se trouve dans U(e).
Pour un entier n, on pose A(n) = {e de E tels que x(n) est dans U(e)}
tous les U(e) pour e dans A(n) sont des voisinages de x(n) qui possède une base de voisinages compacts dénombrable; on peut donc trouver une suite de voisinages compacts de x(n) qui contiendront les éléments de A(n).
ce qui doit donner le résultat.
Par contre, je suis désolé, j'ai revendu les deux tomes de topologie de Bourbaki (les gros pavés reliés avec des jaquettes grises de chez Hermann) que je possédais et cela fait déjà 15 ans... et je ne peux donc pas vérifier tout cela; j'ai bien counterexamples in topology de Steen et Seebach mais un chien ne retrouverait pas ses chiots dedans; quant à mon Choquet, je ne sais pas où il est; je serai plus motivé demain.