[Optimisation]Plein d'exos, je ne sais pas partir...

La gradient serait plutôt $2AX$...

Thibaut

Re,

J'ai un peu plus de temps maintenant ;-)

On cherche donc à résoudre d'optimisation suivant :

$(P):\mathop {\min }\limits_{\left\| x \right\| = 1} \left\langle {Ax,x} \right\rangle$

On pose successivement :

$\begin{array}{*{20}c}
{R:} & {\R^n } & \to & \R \\
{} & x & \mapsto & {\left\langle {Ax,x} \right\rangle } \\
\end{array}$

et

$\begin{array}{*{20}c}
{N:} & {R^n } & \to & R \\
{} & x & \mapsto & {\left\| x \right\|^2 - 1} \\
\end{array}$

On calcule les gradients de $R$ et $N$ :

$\nabla R (x) = 2Ax$
$\nabla N(x) = 2x$

Soit maintenant $x^*$ une solution du problème $(P)$ (ça existe, on est sur un compact).

condition nécessaire du premier ordre : il existe $\lambda \in \R$ tel que $\nabla R (x^*) = \lambda \nabla N (x^*)$, soit :

$Ax^* = \lambda x^*$

Par conséquent, puisque $x^*$ est non nul, c'est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$. De plus, $R(x^*) = \lambda \left\| x^* \right\|^2 = \lambda$.
Ainsi, le minimum recherché est égal à ${\min }\limits_{\lambda \in Sp(A)} \lambda$, la plus petite valeur propre de $A$.

Cordialement,

Ritchie