Supposons que le repère du plan dans lequel tu travailles soit orthonormé (tu travailles dans le plan ?) afin de pouvoir calculer simplement les distances entre deux points.
Soit $M_t(t,f(t))$ un point d'une courbe.
On a une branche infinie lorsque $t$ tend vers $l$ si et seulement si la distance $OM_t=sqrt{t^2+f(t)^2}$ tend vers l'infini quant $t$ tend vers $l$.
Cela se réalise lorsque $t$ ou $f(t)$ tend vers l'infini, ou les deux.
Même chose pour une courbe paramétrée, le point $M_t$ ayant alors pour coordonnées $(x(t),y(t))$.
Supposons que le repère du plan dans lequel tu travailles soit orthonormé (tu travailles dans le plan ?) afin de pouvoir calculer simplement les distances entre deux points.
Soit $M_t(t,f(t))$ un point d'une courbe.
On a une branche infinie lorsque $t$ tend vers $l$ si et seulement si la distance $OM_t=\sqrt{t^2+f(t)^2}$ tend vers l'infini quant $t$ tend vers $l$.
Cela se réalise lorsque $t$ ou $f(t)$ tend vers l'infini, ou les deux.
Même chose pour une courbe paramétrée, le point $M_t$ ayant alors pour coordonnées $(x(t),y(t))$.
On ne s interesse à f(x)/x que quand f(x) et x tendent tous les deux vers l'infini, pour avoir une idée de l allure de la courbe.
L'idée est de comparer la courbe et une droite d'équation y = ax + b, dont l'allure est bien connue.
L'idée est que si $f(x) \sim ax+b$ lorsque $x$ tend vers l'infini ($\sim$ pour "proche de")
alors $\dfrac{f(x)}{x} \sim a$ et donc la limite $\dfrac{f(x)}{x}$ sera $a$, ce qui signifie que la courbe et la droite tendent vers l'infini en gros à la même vitesse.
Si $\dfrac{f(x)}{x}$ tend vers l'infini, alors la courbe "monte" vers l'infini plus vite que n'importe quelle droite, comme sur la parabole d'équation $y=x^2$, on parle alors de branche parabolique verticale.
Si $\dfrac{f(x)}{x}$ tend vers 0, alors la courbe "monte" vers l'infini moins vite que n'importe quelle droite (non horizontale), on parle alors de branche parabolique horizontale (pense à la courbe d'équation $y=\sqrt{x}$, qui est morceau de parabole qu'on a fait tourner d'un quart de tour vers la droite). On parle alors de branche parabolique horizontale.
Dans ce cas on parle de branche parabolique de direction l'axe y = x.
Et si f(x) - ax n'a pas de limite (par exemple f(x)=x+sin x), on dit que la courbe admet simplement une direction asymptotique y = ax (c'est le cas dès que f(x)/x tend vers a non nul).
Réponses
Supposons que le repère du plan dans lequel tu travailles soit orthonormé (tu travailles dans le plan ?) afin de pouvoir calculer simplement les distances entre deux points.
Soit $M_t(t,f(t))$ un point d'une courbe.
On a une branche infinie lorsque $t$ tend vers $l$ si et seulement si la distance $OM_t=sqrt{t^2+f(t)^2}$ tend vers l'infini quant $t$ tend vers $l$.
Cela se réalise lorsque $t$ ou $f(t)$ tend vers l'infini, ou les deux.
Même chose pour une courbe paramétrée, le point $M_t$ ayant alors pour coordonnées $(x(t),y(t))$.
Supposons que le repère du plan dans lequel tu travailles soit orthonormé (tu travailles dans le plan ?) afin de pouvoir calculer simplement les distances entre deux points.
Soit $M_t(t,f(t))$ un point d'une courbe.
On a une branche infinie lorsque $t$ tend vers $l$ si et seulement si la distance $OM_t=\sqrt{t^2+f(t)^2}$ tend vers l'infini quant $t$ tend vers $l$.
Cela se réalise lorsque $t$ ou $f(t)$ tend vers l'infini, ou les deux.
Même chose pour une courbe paramétrée, le point $M_t$ ayant alors pour coordonnées $(x(t),y(t))$.
L'idée est de comparer la courbe et une droite d'équation y = ax + b, dont l'allure est bien connue.
L'idée est que si $f(x) \sim ax+b$ lorsque $x$ tend vers l'infini ($\sim$ pour "proche de")
alors $\dfrac{f(x)}{x} \sim a$ et donc la limite $\dfrac{f(x)}{x}$ sera $a$, ce qui signifie que la courbe et la droite tendent vers l'infini en gros à la même vitesse.
Si $\dfrac{f(x)}{x}$ tend vers l'infini, alors la courbe "monte" vers l'infini plus vite que n'importe quelle droite, comme sur la parabole d'équation $y=x^2$, on parle alors de branche parabolique verticale.
Si $\dfrac{f(x)}{x}$ tend vers 0, alors la courbe "monte" vers l'infini moins vite que n'importe quelle droite (non horizontale), on parle alors de branche parabolique horizontale (pense à la courbe d'équation $y=\sqrt{x}$, qui est morceau de parabole qu'on a fait tourner d'un quart de tour vers la droite). On parle alors de branche parabolique horizontale.
Il reste le cas : limite de f(x)/x est a et limite f(x)-ax est infinie
Exemple f(x) = x- racine (x).
Et si f(x) - ax n'a pas de limite (par exemple f(x)=x+sin x), on dit que la courbe admet simplement une direction asymptotique y = ax (c'est le cas dès que f(x)/x tend vers a non nul).
limite de f(x)/x est a (a non nul) et limite f(x)-ax est infinie on parle plutôt de branche infinie de direction asymptotique d'équation y = ax.