étude de fonction
Réponses
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Bonjour,
Supposons que le repère du plan dans lequel tu travailles soit orthonormé (tu travailles dans le plan ?) afin de pouvoir calculer simplement les distances entre deux points.
Soit $M_t(t,f(t))$ un point d'une courbe.
On a une branche infinie lorsque $t$ tend vers $l$ si et seulement si la distance $OM_t=sqrt{t^2+f(t)^2}$ tend vers l'infini quant $t$ tend vers $l$.
Cela se réalise lorsque $t$ ou $f(t)$ tend vers l'infini, ou les deux.
Même chose pour une courbe paramétrée, le point $M_t$ ayant alors pour coordonnées $(x(t),y(t))$. -
Bonjour,
Supposons que le repère du plan dans lequel tu travailles soit orthonormé (tu travailles dans le plan ?) afin de pouvoir calculer simplement les distances entre deux points.
Soit $M_t(t,f(t))$ un point d'une courbe.
On a une branche infinie lorsque $t$ tend vers $l$ si et seulement si la distance $OM_t=\sqrt{t^2+f(t)^2}$ tend vers l'infini quant $t$ tend vers $l$.
Cela se réalise lorsque $t$ ou $f(t)$ tend vers l'infini, ou les deux.
Même chose pour une courbe paramétrée, le point $M_t$ ayant alors pour coordonnées $(x(t),y(t))$. -
Mais alors pourquoi faire la limite de f(x)/x quand x tend vers l'infini?
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On ne s interesse à f(x)/x que quand f(x) et x tendent tous les deux vers l'infini, pour avoir une idée de l allure de la courbe.
L'idée est de comparer la courbe et une droite d'équation y = ax + b, dont l'allure est bien connue.
L'idée est que si $f(x) \sim ax+b$ lorsque $x$ tend vers l'infini ($\sim$ pour "proche de")
alors $\dfrac{f(x)}{x} \sim a$ et donc la limite $\dfrac{f(x)}{x}$ sera $a$, ce qui signifie que la courbe et la droite tendent vers l'infini en gros à la même vitesse.
Si $\dfrac{f(x)}{x}$ tend vers l'infini, alors la courbe "monte" vers l'infini plus vite que n'importe quelle droite, comme sur la parabole d'équation $y=x^2$, on parle alors de branche parabolique verticale.
Si $\dfrac{f(x)}{x}$ tend vers 0, alors la courbe "monte" vers l'infini moins vite que n'importe quelle droite (non horizontale), on parle alors de branche parabolique horizontale (pense à la courbe d'équation $y=\sqrt{x}$, qui est morceau de parabole qu'on a fait tourner d'un quart de tour vers la droite). On parle alors de branche parabolique horizontale. -
Merci pour cette réponse.
Il reste le cas : limite de f(x)/x est a et limite f(x)-ax est infinie
Exemple f(x) = x- racine (x). -
Dans ce cas on parle de branche parabolique de direction l'axe y = x.
Et si f(x) - ax n'a pas de limite (par exemple f(x)=x+sin x), on dit que la courbe admet simplement une direction asymptotique y = ax (c'est le cas dès que f(x)/x tend vers a non nul). -
Salut
limite de f(x)/x est a (a non nul) et limite f(x)-ax est infinie on parle plutôt de branche infinie de direction asymptotique d'équation y = ax.
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