Ta fonction $d_x f$ est juste la multiplication par une constante non nulle. Elle a bien une reciproque qui est la division par cette meme constante. Donc c'est un isomorphisme.
Un endomorphisme de $\R$ est toute application linéaire de $\R$ dans $\R$
Un isomorphisme est toute application linéaire bijective.
Je sais également qu'en dimension finie, pour f endomorphisme il est équivalent de dire que f est injective ou que f est surjective ou que f est bijetction (d'ailleurs pour toute application linéaire de E dans F de dim finie)
Soit $f$ une application linéaire de $\R$ dans $E$, un espace vectoriel. On note $n=\dim(E)$.
1) Montrer que $\forall x\in \R \quad f(x)=x. f(1)$.
2) Pour quelles valeurs de $f(1)$ et de $n$ $f$ est-il un isomorphisme?
3) En déduire la forme générale d'un endomorphisme et d'un isomorphisme de $\R$?
Réponses
Ensuite, que dire de $f'(x)$ si $x$ est non nul?
Mais je connais juste la définition d'un isomorphisme, et pas la caractérisation.
Quelle est-elle ?
Merci encore
Un isomorphisme est toute application linéaire bijective.
Je sais également qu'en dimension finie, pour f endomorphisme il est équivalent de dire que f est injective ou que f est surjective ou que f est bijetction (d'ailleurs pour toute application linéaire de E dans F de dim finie)
Je ne pense pas avoir répondu à la question...
Soit $f$ une application linéaire de $\R$ dans $E$, un espace vectoriel. On note $n=\dim(E)$.
1) Montrer que $\forall x\in \R \quad f(x)=x. f(1)$.
2) Pour quelles valeurs de $f(1)$ et de $n$ $f$ est-il un isomorphisme?
3) En déduire la forme générale d'un endomorphisme et d'un isomorphisme de $\R$?