la dérivabilité d'une fonction

c'est curieux mais ton énoncé me rappelle exercice hyper-classique (et d'ailleurs pas évident..) dans le cas où le réel que tu appelles $k$ est un réel $\alpha >1$..:

pour $f$ continue et $\alpha >1$ donnés, $f$ est dérivable en $0$ ssi $\frac{f(\alpha u)-f(u)}{u}$ admet une limite $\ell $ quand $u$ tend vers $0$, alors $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=\ell $.
(on le trouve dans tous les bouquins d'analyse, souvent traité avec $\alpha =2$ mais ça se généralise sans problème à tout $\alpha >1$).

Donc je suggère de t'y ramener en posant $\alpha =1/k$ et $u=kx$ : alors
$$\frac{f(x)-f(kx)}{x}=k\,\frac{f(\alpha u)-f(u)}{u}$$

Mais je n'ai pas vraiment eu le temps de réfléchir et peut-être est-ce une fausse piste (auquel cas il y aurait une solution très simple à ton problème)

Bonsoir
J'ai un exercice qui me pose des problèmes voici l'énoncé

Soient $a$ un réel strictement positif
$f:\ ]-a,a[\ \rightarrow \R$ continue en $0$ et $k \in\ ]0,1[$ tel que :
$x \mapsto \dfrac{f(x)-f(kx)}{x}$ admette une limite $\ell$ en 0.
Montrer que $f$ est déivable en 0 et déterminer $f'(0)$.

Je veux résoudre cet exercice en utilisant les epsilons, je ne vois pas d'autre méthodes. Je veux montrer que :
il existe $b$, pour tout $\epsilon >0$, on peut trouver un $e > 0$, tel que pour tout $x \in ]-a,a[ $, la condition $x \in [-e,e]$ entraine $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}-b \in [-\epsilon,\epsilon] $
Je bloque toujours sur ce genre d'exercice où il faut prouver une existence, je ne sais pas par quoi commencer ?
Je ne veux pas que quelqu'un me donne la solution, je veux savoir comment vous faites pour trouver ce $e$ et est-ce que des dessins peuvent servir dans ce genre de démonstration.
Merci d'avance.

arno, en fait, je m'aperçois que l'hypothèse $00$ tel que, pour $|u|\leq \delta$, on ait $|f(ku)-f(u)|\leq \varepsilon |u|$

Donc, pour $|x|\leq \delta $ et $i\in \N$,
$$|f(k^ix)-f(k^{i+1}x)|\leq \varepsilon \,k^i\,|x|$$

Il en résulte, pour tout $n\in \N^*$
$$|f(x)-f(k^nx)|\leq \left ( \sum_{i=0}^{n-1}\,k^i\,\right ) |x|\leq \frac{\varepsilon }{1-k}\,|x|$$

Par continuité de $f$ en $0$, on voit , en faisant $n\rightarrow +\infty$ dans l'inégalité précédente, que
$$|f(x)|\leq \frac{\varepsilon }{1-k}\,|x|$$

et c'est terminé.
D'accord ?