la dérivabilité d'une fonction
bonsoir,j'ai un exercice qui me pose des problémes voici l'enoncé
soinent a une réel strictement positif
f:]-a,a0,1[tel que :
x
>(f(x)-f(kx))/x admette une limite l en 0
montrer que f est déivable en 0 et déterminer f'(0).
je veux resoudre cet exercice en utilisant les epsilons ,je ne vois pas d'autre méthodes. je veux montrer que
il existe b, pour tout epsilon strictement positif,on peut trouver un e stricement positif, tel que pour tout x appartenant à ]-a,a[,la condition x appatrient à[-e,e] entraine (f(x)-f(0))/x)-b apppartient à [-epsilon,epsilon]
je bloque toujours sur ce genre d'exercice ou il faut prouver une existence,je ne sais pas par quoi commencer ? je ne veux pas que quelqu'un me donne la solution,je veux savoir comment vous faite pour trouver se e et est ce que des dessins peuvent servir dans ce genre de démonstration merci d'avance
soinent a une réel strictement positif
f:]-a,a0,1[tel que :
x
>(f(x)-f(kx))/x admette une limite l en 0
montrer que f est déivable en 0 et déterminer f'(0).
je veux resoudre cet exercice en utilisant les epsilons ,je ne vois pas d'autre méthodes. je veux montrer que
il existe b, pour tout epsilon strictement positif,on peut trouver un e stricement positif, tel que pour tout x appartenant à ]-a,a[,la condition x appatrient à[-e,e] entraine (f(x)-f(0))/x)-b apppartient à [-epsilon,epsilon]
je bloque toujours sur ce genre d'exercice ou il faut prouver une existence,je ne sais pas par quoi commencer ? je ne veux pas que quelqu'un me donne la solution,je veux savoir comment vous faite pour trouver se e et est ce que des dessins peuvent servir dans ce genre de démonstration merci d'avance
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Réponses
pour $f$ continue et $\alpha >1$ donnés, $f$ est dérivable en $0$ ssi $\frac{f(\alpha u)-f(u)}{u}$ admet une limite $\ell $ quand $u$ tend vers $0$, alors $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=\ell $.
(on le trouve dans tous les bouquins d'analyse, souvent traité avec $\alpha =2$ mais ça se généralise sans problème à tout $\alpha >1$).
Donc je suggère de t'y ramener en posant $\alpha =1/k$ et $u=kx$ : alors
$$\frac{f(x)-f(kx)}{x}=k\,\frac{f(\alpha u)-f(u)}{u}$$
Mais je n'ai pas vraiment eu le temps de réfléchir et peut-être est-ce une fausse piste (auquel cas il y aurait une solution très simple à ton problème)
pour $ f$ continue et $ \alpha >1$ donnés, $ f$ est dérivable en 0 ssi $ \frac{f(\alpha u)-f(u)}{u}$ admet une limite $ \ell $ quand $ u$ tend vers 0, et en ce cas $ f$ est dérivable en 0 avec $ f'(0)=\ell $.
(on le trouve dans tous les bouquins d'analyse de prépa, souvent traité avec $ \alpha =2$ mais ça se généralise sans problème à tout $ \alpha >1$).
Donc je suggère de t'y ramener en posant $ \alpha =1/k$ et $ u=kx$ : alors
$$ \frac{f(x)-f(kx)}{x}=k\,\frac{f(\alpha u)-f(u)}{u}$$
Mais je n'ai pas vraiment eu le temps de réfléchir et peut-être est-ce une fausse piste (auquel cas il y aurait une solution très simple à ton problème)
[doublon : corrections mineures effectuées]
J'ai un exercice qui me pose des problèmes voici l'énoncé
Soient $a$ un réel strictement positif
$f:\ ]-a,a[\ \rightarrow \R$ continue en $0$ et $k \in\ ]0,1[$ tel que :
$x \mapsto \dfrac{f(x)-f(kx)}{x}$ admette une limite $\ell$ en 0.
Montrer que $f$ est déivable en 0 et déterminer $f'(0)$.
Je veux résoudre cet exercice en utilisant les epsilons, je ne vois pas d'autre méthodes. Je veux montrer que :
il existe $b$, pour tout $\epsilon >0$, on peut trouver un $e > 0$, tel que pour tout $x \in ]-a,a[ $, la condition $x \in [-e,e]$ entraine $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}-b \in [-\epsilon,\epsilon] $
Je bloque toujours sur ce genre d'exercice où il faut prouver une existence, je ne sais pas par quoi commencer ?
Je ne veux pas que quelqu'un me donne la solution, je veux savoir comment vous faites pour trouver ce $e$ et est-ce que des dessins peuvent servir dans ce genre de démonstration.
Merci d'avance.
mais comme tu dis aussi après, $ \frac{f(\alpha u)-f(u)}{u}=\alpha \frac{f( v)-f(k v)}{v}$ où $v=\alpha u$ et $k=1/\alpha$ donc $k0$, et faire tendre n vers l'infini.
Ma méthode est intéressante pour jouer avec epsilon, car on mélange ici la limite par rapport à x avec la limite par rapport à n
je te conseille pour commencer, de prendre $\varepsilon>0$, et de prendre $\delta>0$ tel que $|x|
Donc, pour $|x|\leq \delta $ et $i\in \N$,
$$|f(k^ix)-f(k^{i+1}x)|\leq \varepsilon \,k^i\,|x|$$
Il en résulte, pour tout $n\in \N^*$
$$|f(x)-f(k^nx)|\leq \left ( \sum_{i=0}^{n-1}\,k^i\,\right ) |x|\leq \frac{\varepsilon }{1-k}\,|x|$$
Par continuité de $f$ en $0$, on voit , en faisant $n\rightarrow +\infty$ dans l'inégalité précédente, que
$$|f(x)|\leq \frac{\varepsilon }{1-k}\,|x|$$
et c'est terminé.
D'accord ?
Ce qui était intéressant c'était de voir comment il se serait débrouillé tout seul
Il aurait surement fait autrement.