enveloppe d'holomorphie
bonjour à vous tous;
à savoir que K est un compact, $\Omega$ est un domaine.il est évident que l'enveloppe d'holomorphie $\hat{k}$_{\Omega}$ est bornée,fermée.mais elle n'est pas tjrs un compact que si $\Omega$ est un domaine d'holomorphie!pourquoi cette condition?avez vous une idée?
D'avance merci.
à savoir que K est un compact, $\Omega$ est un domaine.il est évident que l'enveloppe d'holomorphie $\hat{k}$_{\Omega}$ est bornée,fermée.mais elle n'est pas tjrs un compact que si $\Omega$ est un domaine d'holomorphie!pourquoi cette condition?avez vous une idée?
D'avance merci.
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Réponses
à savoir que K est un compact, $\Omega$ est un domaine.il est évident que l'enveloppe d'holomorphie $\hat{k}$_{\Omega}$ est bornée,fermée.mais elle n'est pas tjrs un compact que si $\Omega$ est un domaine d'holomorphie!pourquoi cette condition?avez vous une idée?
D'avance merci.
(mon texte ne figure pas!!j'ai oublié quelque chose?! je l'envoie une autre fois alors!)à savoir que K est un compact, $\Omega$ est un domaine.il est évident que l'enveloppe d'holomorphie $\hat{k}$_{\Omega}$ est bornée,fermée.mais elle n'est pas tjrs un compact que si $\Omega$ est un domaine d'holomorphie!pourquoi cette condition?avez vous une idée?
D'avance merci.
(mon texte ne figure pas!!j'ai oublié quelque chose?! je l'envoie une autre fois alors!)à savoir que K est un compact, $\Omega$ est un domaine.il est évident que l'enveloppe d'holomorphie $\hat{k}_{\Omega}$ est bornée,fermée.mais elle n'est pas tjrs un compact que si $\Omega$ est un domaine d'holomorphie!pourquoi cette condition?avez vous une idée?
D'avance merci.
Joaopa
[Comme dirait A.D: "Pour un dollar de trop"]
Dans le sens "tous les compacts ont une enveloppe d'holomorphie compacte" $\Rightarrow$ "$\Omega$ est un domaine d'holomorphie" on peut construire une fonction $f$ holomorphe sur $\Omega$ qui ne peut être prolongée en utilisant une exhaustion de $\Omega$ et un produit infini.
Dans l'autre sens, c'est assez long. Il y a un lemme sur la convergence d'un développement en série puis un théorème.
Si $D$ est un polydisque ouvert centré en $0$, on pose : $\Delta_\Omega^D(z)=sup\{r;\{z\}+rD \subset \Omega\}$
Commençons par un petit lemme de convergence :
${\bf Lemme :}$
Soit $f$ holomorphe sur $\Omega$ et $\zeta\in\hat{K}_\Omega$. Supposons que : $\forall z \in K \ |f(z)|\leq\Delta_\Omega^D(z)$.
Si $u$ est holomorphe sur $\Omega$, alors le développement en série de $u$ en $\zeta$ - à savoir $\displaystyle{\sum_{\alpha\in\N^n} (z-\zeta)^\alpha\partial^\alpha u(\zeta)/\alpha !} (*)$ - converge lorsque
$z$ appartient au polydisque $\{\zeta\}+|f(\zeta)|D$
${\bf Preuve\ du\ lemme :}$
On peut écrire $D=\{z:|z_j|