correction + différentielle

Thomas G0
Thomas G0
dans Analyse
Bonjour !

Je dois déterminer la différentielle de l'application $f$ de $\R^2$ dans $\R^2$ déinie par $$f(x)=[x|u]x$$

C'est bien sûr un produit scalaire ;)

Donc j'ai fait : $$f(x+h)=[x+h|u](x+h)=[x|u](x+h)+[h|u](x+h)=[x|u]u+[x|u]h+[h|u]x+[h|u]h=f(x)+[x|u]h+[h|u]h+[h|u]x$$

Pour moi la partie linéaire est $[x|u]h+[h|u]h$


Est-ce correct ?

Merci d'avance et bonne journée !

Réponses

  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonjour !

    Je dois déterminer la différentielle de l'application $f : \R^2 \rightarrow \R^2$ déinie par $$f(x)=[x|u]x$$ $[x|u]$ est bien sûr un produit scalaire ;)
    Donc j'ai fait : \begin{align*}
    f(x+h)&=[x+h|u](x+h)\\
    &=[x|u](x+h)+[h|u](x+h)\\
    &=[x|u]u+[x|u]h+[h|u]x+[h|u]h\\
    &=f(x)+[x|u]h+[h|u]h+[h|u]x
    \end{align*} Pour moi la partie linéaire est $[x|u]h+[h|u]h$
    Est-ce correct ?
    Merci d'avance et bonne journée !
  • arno_nora
    arno_nora
    $ [x\vert u]h+[h\vert u]h$ n'est pas linéaire en h, car il y a 2 fois h dans le second terme.
    C'est linéraire en h, et non pas en u
    et de plus continue, mais en dimension finie, linéaire suffit

    encore faut-il trouvé le $h \varepsilon (h)$ car sinon tu en oublies la moitié
  • Thomas G0
    Thomas G0
    Merci Arnaud (?)

    Donc quelle est la forme linéaire ? Je ne comprends pas bien...!

    De plus, je dirai que : $h\epsilon(h)=[h|u]h$ non ?


    Ensuite pour montrer que $\epsilon(h)$ tend vers $0$, on utilise Cauchy-Schwartz
  • Thomas G0
    Thomas G0
    Ca marche assez bien en fait !

    $$|\epsilon(h)|=|\frac{[h|u]h}{||h||}|\le \frac{||h||||u|||h|}{||h||}=|h|||u||$$ et on a : $$\lim_{h\to 0} |h|||u||=0$$

    Donc on aurait : $$L_{x}(h)=[x|u]h+[h|u]x$$ qui est bien linéaire je pense
  • arno_nora
    arno_nora
    oui c'est Cauchy Swartz qui montre que $[h|u]h=o(\|h\|)$
    $\displaystyle L_{x}(h)=[x\vert u]h+[h\vert u]x$

    si tu penses seulement qu'elle est linéaire, ce n'est pas suffisant, il faut en être sûr
  • Thomas G0
    Thomas G0
    Mais comment le montrer proprement ?

    Si je prends $x(x_1,x_2)$ et $u(a,b)$ et en écrivant ce que ça donne, je peux le montrer, non ?
  • arno_nora
    arno_nora
    $ h->[x\vert u]h$ est une homothétie
    et $[ah+bk|u]x= ?$
    je pense que tu ne te forces pas, tu es capable de calculer des différentielle mais tu ne sais plus montrer qu'une fonction est linéaire?

    de plus une homothétie est continue pour toute norme (même en dimension infinie)
    et la produit scalaire est continue pour la norme qu'il induit, (même en dimension infini)

    donc si tu n'arrives pas à montrer qu'elle est linéaire, tu sauras au moins qu'elle est continue pour la norme induite par le produit scalaire.
  • Thomas G0
    Thomas G0
    Merci !
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