fonctions composée + différentielle

Thomas G0 · December 2006

Bonsoir tout le monde

Soient deux fonctions de $\R$ dans $\R$ telles que $f^{'}(1)$ et $g^{'}(1)$ existent. Je dois montrer que $h(x,y)=f(xy)+g(\frac{y}{x})$ est différentiable en $(1,1)$

Donc j'ai dit que h est la composée de $$\Delta : (x,y)->(xy,\frac{y}{x})$$ et de $$\theta : (u,v)->f(u)+g(v)$$

Ces deux fonctions sont clairement différentiables en (1,1) donc h l'est.

Maintenant je dois calculer la différentielle.

Donc j'utilise la formule des fonctions composées, qui nous donne :

$$d_{(1,1)}h(h,k)=d_{(1,1)}(\theta o \Delta)(h,k)=d_{\Delta_{(1,1)}}\theta o d_{(1,1)}\Delta=d_{(1,1)}\theta o d_{(1,1)}\Delta=(f^{'}(1)+g^{'}(1))od_{(1,1)}\Delta$$

Mais ensuite ?

Merci

Thomas G0 · December 2006

personne ?

arno_nora · December 2006

c'est bien mais il faut continuer
$d(g\circ f)_x(u)=dg_{f(x)}(df_x(u))$

sinon comme c'est une somme, il suffit de calculer les différentielles de chacun des termes de la somme.
ta fonction est la somme des deux fonctions
$(x,y) \mapsto xy=u \mapsto f(u)$
et
$(x,y) \mapsto y/x=v \mapsto g(v)$

qui sont aussi composées tel que j'ai essayé de l'écrire

il faut continuer

Thomas G0 · December 2006

oui, je pense l'avoir fait.

Le dernier terme est $$(f^{'}(1)+g^{'}(1))od_{(1,1)}\Delta=(f^{'}(1)+g^{'}(1))o(h+k,h-k)$$

C'est cela dont je ne suis pas sûr !

Merci

arno_nora · December 2006

non mais attends
faut reprendre correctement
$\displaystyle \theta : (u,v)->f(u)+g(v)$
$\displaystyle \Delta : (x,y)->(xy,\frac{y}{x})$

il faut commencer par calculer la différentielle de $\Delta$ en (1,1) et de $\theta$ en $\Delta(1,1)=(1,1)$

déjà montre moi ces différentielles qui sont des applications linéaire et non pas des nombres du genre f'(1).

je te rappelle que si f est une fonction dérivable définie de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ alors elle est différentiable et $df_x(h)=hf'(x)$

Thomas G0 · December 2006

Je crois avoir compris !

La différentielle de $\Delta$ en $(1,1)$ vaut $(h+k,h-k)$ je crois.

Celle de $\theta$ en $(1,1)$ vaut $hf^{'}(1)+kg^{'}(1)$

Donc la différentielle du tout est : $h(f^{'}(1)+g^{'}(1))+k(f^{'}(1)-g^{'}(1))$

En tout cas, même si c'est faux, je vous suis très reconnaissant pour l'aide que vous me donner !

arno_nora · December 2006

oui
La différentielle de $ \Delta$ en $ (1,1)$ vaut $(h,k) \mapsto (h+k,k-h)$
moi je trouve k-h
elle est bien linéaire
Celle de $ \theta$ en $ (1,1)$ vaut $ (h,k) \mapsto hf^{'}(1)+kg^{'}(1)$

la différentielle du tout au point (1,1) en (h,k)

$ d(\theta \circ \Delta)_{(1,1)}(h,k)=d\theta_{\Delta(1,1)}(d\Delta_{(1,1}(h,k))
=h(f'(1)-g'(1))+k(f'(1)+g'(1))$

elle est bien linéaire.

Bon j'ai trouvé k-h au lieu de h-k, donc pour vérifier, montre moi comment tu as trouvé la différentielle de $ \Delta$

Thomas G0 · December 2006

Vous avez raison, j'avais considéré x/y au lieu de y/x, et c'est je pense pour ça que je trouve l'opposé de votre résultat.

En tout cas je vous souhaite une bonne fin de soirée !

Merci

arno_nora · December 2006

sinon de mon coté, j'aurai séparé les termes de la somme.
en posant $a:(x,y) \mapsto xy$ et $b:(x,y) \mapsto y/x$
alors pour la fonction H : $H=f \circ a + g \circ b$
et chacun des termes est différentiable en (1,1)
la différentielle d'une somme de fonctions différentiables est la somme des différentielles.

on prend séparément
$d(f \circ a)_{(1,1)}(h,k)=df_1(da_{(1,1)}(h,k))=(h+k)f'(1)$
$d(g \circ b)_{(1,1)}(h,k)=dg_1(db_{(1,1)}(h,k))=(k-h)g'(1)$

on retrouve le même résultat

pour différentier b par exemple, puisqu'on sait qu'elle est différentiable en (1,1), elle admet des dérivées partielles :
et $db_{(1,1)}(h,k)=h\dfrac{\partial{b}}{\partial{x}}(1,1)+k\dfrac{\partial{b}}{\partial{y}}(1,1)=-h+k$