Théorèmes des résidus: pb
Bonjour,
Soit $\displaystyle{I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin\,x}{x (x^2+1)}} $
Alors on peut considérer comme contour, le segment [-R,R], puis le demi cercle supérieur de rayon R.
On applique le théorème des résidus.
L' intégrale sur ce contour vaut $2\pi i \times -1/2 i sh (1)$.
L' intégrale sur le demi cercle tend vers 0 lorsque $R$ tend vers l' infini par le lemme de jordan.
D' où $I = \pi/2 (e-1/e)$
La belle affaire ... car le résultat numérique ne correspond pas du tout ...
Où est l' erreur !?
Soit $\displaystyle{I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin\,x}{x (x^2+1)}} $
Alors on peut considérer comme contour, le segment [-R,R], puis le demi cercle supérieur de rayon R.
On applique le théorème des résidus.
L' intégrale sur ce contour vaut $2\pi i \times -1/2 i sh (1)$.
L' intégrale sur le demi cercle tend vers 0 lorsque $R$ tend vers l' infini par le lemme de jordan.
D' où $I = \pi/2 (e-1/e)$
La belle affaire ... car le résultat numérique ne correspond pas du tout ...
Où est l' erreur !?
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Réponses
sinx/x est une fonction paire comme1/(x²+1) donc l'intégrale est égale à 2 fois la même calculée de 0 à l'infini
et par les applications intégrales de la fonction Gamma je trouve comme résultat pi
est-ce exact? je pose la question à ceux qui utilisent la méthode des résidus
cordialement
la fonction $z \longrightarrow\frac{\sinz}{z (z^2+1)}} $ ne vérifie pas ce que vous appelez le lemme de Jordan.
la fonction $ z \longrightarrow\frac{sinz}{z (z^2+1)} $
$[ \epsilon, R]$
le demi-cercle de centre O et de rayon R puis le segment
$-R, [- \epsilon]$;
soit $C$ ce contour:
On calcule donc $ I = \int_{C} \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)} dz$ en utilisant la notion de valeur principale de Cauchy de:
$f: z \longrightarrow \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)}$
$I = 2i \pi res(f,i) = - \frac{\pi}{2e}$
On évalue d'autre part $I$ le long du contour ce qui donne en faisant tendre R
vers l'infini et $ \epsilon$ vers zéro:
$I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2 + 1)}dx - i \pi res(f,0)$
ce qui donne:
$- \frac{\pi}{2e} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x}dx - \frac{\pi}{2}$
soit:
$\int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x}dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2e}$
et Maple donne une valeur approchée de l'intégrale qui correspond.
Remarque: le calcul de $I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x}dx par cette méthode se trouve dans tous les bons bouquins...
$[ \epsilon, R]$
le demi-cercle de centre O et de rayon R puis le segment
$ -R, [- \epsilon]$;
soit $C$ ce contour:
On calcule donc $ I = \int_{C} \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)} dz $ en utilisant la notion de valeur principale de Cauchy de:
$f: z \longrightarrow \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)}$
$I = 2i \pi res(f,i) = - \frac{\pi}{2e}$
On évalue d'autre part $I$ le long du contour ce qui donne en faisant tendre R
vers l'infini et $ \epsilon$ vers zéro:
$I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2 + 1)}dx - i \pi res(f,0)$
ce qui donne:
$- \frac{\pi}{2e} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x}dx - \frac{\pi}{2}$
soit:
$\int_{0}^{ \infty} \frac{sinx}{x}dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2e}$
et Maple donne une valeur approchée de l'intégrale qui correspond.
Remarque: le calcul de $I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x}dx$ par cette méthode se trouve dans tous les bons bouquins...
e demi-cercle de centre O et de rayon R puis le segment
$[ -R, - \epsilon]$;
la bonne méthode consiste à tracer un contour formé d'un demi-cercle de centre O et de rayon $ \epsilon$ dans le demi-plan supérieur, parcouru dans le sens positif puis suivre l'axe des abscisses sur le segment
$ [ \epsilon, R]$
le demi-cercle de centre O et de rayon R puis le segment
$ [-R, - \epsilon]$;
soit $ C$ ce contour:
On calcule donc $ I = \int_{C} \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)} dz $ en utilisant la notion de valeur principale de Cauchy de:
$ f: z \longrightarrow \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)}$
$ I = 2i \pi res(f,i) = - \frac{\pi}{2e}$
On évalue d'autre part $ I$ le long du contour ce qui donne en faisant tendre R
vers l'infini et $ \epsilon$ vers zéro:
$ I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2 + 1)}dx - i \pi res(f,0)$
ce qui donne:
$ - \frac{\pi}{2e} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2+1}dx - \frac{\pi}{2}$
soit:
$ \int_{0}^{ \infty} \frac{sinx}{x(x^+1)}dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2e}$
et Maple donne une valeur approchée de l'intégrale qui correspond.
Remarque: le calcul de $ I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x}dx$ par cette méthode se trouve dans tous les bons bouquins...
la bonne méthode consiste à tracer un contour formé d'un demi-cercle de centre O et de rayon $ \epsilon$ dans le demi-plan supérieur, parcouru dans le sens positif puis suivre l'axe des abscisses sur le segment
$ [ \epsilon, R]$,
le demi-cercle de centre O et de rayon R puis le segment
$ [-R, - \epsilon]$;
soit $ C$ ce contour:
On calcule donc $ I = \int_{C} \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)} dz $ en utilisant la notion de valeur principale de Cauchy de:
$ f: z \longrightarrow \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)}$
$ I = 2i \pi $res$(f,i) = - \frac{\pi}{2e}$
On évalue d'autre part $ I$ le long du contour ce qui donne en faisant tendre R
vers l'infini et $ \epsilon$ vers zéro:
$ I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2 + 1)}dx - i \pi $res$(f,0)$
ce qui donne:
$ - \frac{\pi}{2e} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2+1)}dx - \frac{\pi}{2}$
soit:
$ \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2+1)}dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2e}$
et Maple donne une valeur approchée de l'intégrale qui correspond.
Remarque: le calcul de $ I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x}dx$ par cette méthode se trouve dans tous les bons bouquins...
Merci bcp.