continuité d'une intégrale

FannyD · December 2006

Pourriez-vous m'aider à montrer que l'intégrale de 0 à l'infini de
 
 sin(a*racine(x)) / (racine(x)) est continue, pour a réel.
 
 Je n'arrive pas à majorer sin(a*racine(x)) / (racine(x)) par une fonction intégrable indépendante de a.
 
 Merci.

Aleg · December 2006

il y a un léger problème car $\int_0^{+\infty }\,\frac{\sin a\sqrt{x}}{\sqrt {x}}\, dx$ n'existe pas...
car
$$\int_0^{X}\,\frac{\sin a\sqrt{x}}{\sqrt {x}}\, dx=2\,\int_0^{\sqrt{X}}\,\sin(at)\,dt$$

FannyD · December 2006

Désolée j'ai oublié de préciser que c'est pour une mesure bornée quelconque définie sur la tribu borélienne de la demi-droite 0,l'infini et non pas pour la mesure de Lebesgue.

Laotseu0 · December 2006

Dans ce cas la majoration $\left|\frac{\sin a\sqrt{x}}{\sqrt {x}}\right|\leq a\leq M$ suffit lorsque $a\in [0,M]$.
On a alors la continuité sur $[0,M]$ pour tout $M$, donc sur $\R$.

Laotseu.

jean lismonde · December 2006

bonjour

a est la variable réelle et x la variable d'intégration

ton intégrale I(a) est continue sauf pour a =0 car en fait I(a)=2/a

il suffit de changer de variable d'intégration en posant rac(x)=t avec t > 0

il vient I(a)=deux fois l'intégrale de 0 à l'infini de sin(at).dt

soit 2/a (on sait que limcos(at) pour t infini est 0)

la convergence (pour a différent de 0) de l'intégrale (fonction de a) ne faisait pas de doute puisque graphiquement elle correspond à la somme infinie des aires de signe alterné d'une sinusoïde amortie;

la continuité de I(a) était donc prévisible pour a différent de 0

cordialement

continuité d'une intégrale

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7