difféomorphisme + restriction
Salut :=)
Je vous expose mon exercice :
On considère l'application $f$ définie par $$f(x,y)=(e^{x}cos(y),e^{x}sin(y))$$
1) Montrer que $f$ est un $C^{\infty}$-difféormophisme local sur $R^2$
2) Montrer que ce n'est pas un $C^{\infty}$-difféomorphisme
3) Trouver les ouverts $U$ les plus grands tels que $f_{|U} : U->f(U)$ soit un $C^{\infty}$-difféomorphisme.
1) $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R^2$. Par ailleurs, $|J_{(x,y)}f|=e^{x} \neq 0$ pour tout $(x,y) \in \R^2$
Donc d'après le théorème d'inversion locale, $f$ est un $C^{\infty}$-difféomorphisme local sur $\R^2$
2) On remarque que $f(x,y)=f(x,+y+2\pi)$
Donc $f$ n'est pas injective, donc $f$ n'est pas un $C^{\infty}$-difféomorphisme
3) J'aurai besoin d'un peu d'aide
Merci beaucoup
En L3 de mathématiques
Je vous expose mon exercice :
On considère l'application $f$ définie par $$f(x,y)=(e^{x}cos(y),e^{x}sin(y))$$
1) Montrer que $f$ est un $C^{\infty}$-difféormophisme local sur $R^2$
2) Montrer que ce n'est pas un $C^{\infty}$-difféomorphisme
3) Trouver les ouverts $U$ les plus grands tels que $f_{|U} : U->f(U)$ soit un $C^{\infty}$-difféomorphisme.
1) $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R^2$. Par ailleurs, $|J_{(x,y)}f|=e^{x} \neq 0$ pour tout $(x,y) \in \R^2$
Donc d'après le théorème d'inversion locale, $f$ est un $C^{\infty}$-difféomorphisme local sur $\R^2$
2) On remarque que $f(x,y)=f(x,+y+2\pi)$
Donc $f$ n'est pas injective, donc $f$ n'est pas un $C^{\infty}$-difféomorphisme
3) J'aurai besoin d'un peu d'aide
Merci beaucoup
En L3 de mathématiques
Réponses
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Personne ?
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On m'a aidé et la réponse est $U=\R \times I$ avec $I$ un intervalle d'amplitude $2\pi$
Mais comment justifier sa maximalité ?
Merci
En L3 de mathématiques -
Bonjour
Considérer f comme appliquant R^2 dans C
(x,y) vers exp(x+iy)
Cordialement -
U=RxI... c'est de la physique ?
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Bonjour!
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