Développement limité

Pierre-Yves-P · December 2006

Bonjout tout le monde,
 
 Je souhaite calculer le développement limité de (tan(x)/x)^(1/x²) en 0 à l'ordre 3.
 
 Alors je serais tenté de commencer par utiliser le DL de tan(x) :
 x + X^3/3 +x^3.E(x)
 
 En divisant par x on trouve donc 1 + x^2/3 + x^2.E(x)
 
 Mais a partir de là, comment dois-je faire intervenir l'exposant ?
 
 Merci d'avance pour vos réponses.
 Pierre-Yves P.

jp · December 2006

il faut utiliser $u^v=e^{v.\ln u}$

Aleg · December 2006

il faut {\bf avant tout} écrire que
$$\left ( \frac{\tan x}{x}\right ) ^{1/x^2}=e^{\frac{1}{x^2}\,\ln \left ( \frac{\tan x}{x}\right ) }$$

puis développer $\frac{\tan x}{x}$ à l'ordre 5, composer avec le dl de $\ln(1+h)$, diviser par $x^2$ (là, on sera à l'ordre 3), puis composer avec le dl de $e^u$.

arno_nora · December 2006

$tan(x)=x+x^3/3+2x^5/15+o(x^6)$ au voisinage de 0

Aleg · December 2006

on peut s'économiser un peu de travail en remarquant que la fct à développer est paire, donc il n'y aura pas de terme d'ordre 3 dans le dl final et on peut commencer les calculs à l'ordre 4.

Résultat final pour que Pierre-Yves puisse contrôler son calcul :
$$f(x)=e^{1/3}\,\left ( 1+ \frac{7}{90}\,x^2 \right ) + o(x^3)$$

Pierre-Yves-P · December 2006

OK je tombe bien sur ça, merci pour votre aide, je vois bien le raisonnement a avoir maintenant.

Par contre, une question en passant :
Ici, on s' arrête à l'ordre 5 parce que l'on sait qu'il n'y a pas d'ordre 6 ; mais si tan(x) avait un ordre 6 il aurait fallu en tenir compte pour se ramener a l'ordre 5 avec la division par x puis 3 avec celle par x^2.
J'ai juste?

Aleg · December 2006

Oui.
 
 D'une façon générale, certaines opérations (en particulier : division ou multiplication par une puissance de la variable, et intégration) modifient l'ordre d'un dl (c'est-à-dire sa précision) : il faut donc essayer de prévoir ces modifications afin d'être certain que l'ordre auquel on mène les calculs au départ garantisse l'ordre auquel on doit formuler le résultat à la fin.
 
 Il y a des situations où c'est assez simple à prévoir (cf ton exemple), mais ça n'est pas toujours le cas (et plusieurs essais peuvent parfois être nécessaires).

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