Développements limités (2nd partie)

Pierre-Yves-P · December 2006

Bonsoir,

Je cherche le DL de f(x) = (sin(x) - 1) / (cos(x) + 1) à l'ordre 2 au voisinage de 0.
Je pensais développer sin(x) à l'odre 4 et cos(x) à l'ordre 2 pour se ramener ensuite à un ordre 2 (sans etre sur) :
sin(x) = x - x^3 / 6 + x^4E(x)
cos(x) = 1 - x^2 / 2 + x^2E(x)

On a donc f(x) = (x - x^3 / 6 - 1 + x^4E(x)) / 1 - x^2 / 2 + 1 + x^2E(x))

Mais a ce moment-là, je n'ai aucune idée de la suite.
Pourvez-vous m'aiguiller svp.

arno_nora · December 2006

$f(x) = \dfrac{x - x^3 / 6 - 1 + x^4E(x)}{ - x^2 / 2 + x^2E(x)}$
tu vois donc que la fonction n'est pas continue en 0, elle n'admet pas de DL, mais par contre c'est un développement asymptotique

tu vas devoir prendre un ordre plus grand pour le cosinus, car tu vas le factoriser par $-x^2/2$ pour avoir du $cos(x)-1=-x^2/2(1-u)$
et ensuite tu vas utiliser le DL de $\dfrac{1}{1-u}$ pour u en 0

arno_nora · December 2006

pardon, ce n'est pas cos(x)-1 mais cos(x)+1, donc la fonction est bien de classe C infini sur un voisinage de 0,
mais par contre, tu vas utiliser le DL de $ \dfrac{1}{1-u}$ pour u en 0, ça reste vrai, mais en factorisant par 2

Développements limités (2nd partie)

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