suite...

Clotho... · December 2006

Bonjour,

Pour prouver que x$\longrightarrow$sin(1/x) n'admet pas de limite en $0$, on me propose de considérer la suite définie pour tout $n$ par :

$u_n=1/(\pi/2+n\pi)$

Pourquoi?

Merci pour la précision,
Cordialement,
Clotho.

oumpapah2 · December 2006

Bonjour,

si f a une limite l en 0 alors pour toute suite u(n) de limite nulle , la suite
f(u(n)) a pour limite l.

dans ton exemple que dire de la suite f(u(n))?

conclusion?

Oump.

Ludovic · December 2006

$u_n$ tend vers O quand $n$ tend vers $+\infty$.
Si la limite de la fonction existe, $\sin(1/u_n)$ converge vers cette limite.
Que vaut : $\sin(1/u_n)$?

skyrmion · December 2006

Bonjour,

Car $f(u_n)=sin(\frac{\pi}{2}+n\pi)=(-1)^{n+1}$.

Si $sin(1/x)$ admettait une limite lorsque $x$ tend vers $0$, on sait que pour toute suite convergeant vers $0$ (par exemple pour ta suite $u_n$) alors on aurait $sin(1/u_n)$ qui convergerait vers la même limite.

sk.

Gilles Benson0 · December 2006

car pour prouver la non continuité, on prouve que le critère séquentiel est en défaut:

$f$ est $C^0$ en $x_0$ ssi $ \forall (u_n)$ telle que:
$\lim u_n = x_0$ on a:

$\lim f(u_n) = f(x_0)$

ce qui ne sera pas le cas pour la fonction considérée.

bisam · December 2006

Je ne voudrais pas t'embêter, Skyrmion, mais $\sin(\frac{\pi}{2}+n\pi)=(-1)^n$ et non $(-1)^{n+1}$... même si ça ne change rien au raisonnement.

Clotho... · December 2006

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses. Pour répondre à Oump :

On a alors $f(u_n)=sin(\pi/2+n\pi)=(-1)^n$ qui admet pour point d'adhérence $-1$ et $1$.

Ok je vois ou ils veulent en venir dans mon énoncé. Si j'avais eu $tan(1/x)$ dans mon énoncé, on aurait choisi $u_n=\pi+n\pi/2$. Non?

Merci

Clotho... · December 2006

Errata comprendre u_n=1/(pi+npi/2) pour tan(1/x)

Clotho... · December 2006

Bonsoir,

C'est concernant ma dernière question :

si je prends x$\longrightarrow$tan(1/x), est-ce qu'un raisonnement analogue peut fonctionner ?

Merci

oumpapah2 · December 2006

Re,

Hum.. dans tout voinisage de 0 il y a des valeurs de x pour lesquelles ta
fonction n'est pas definie.!

pour poser le pb il faut une fonction definie dans un Voisinage "épointé " de 0..

Oump

Gilles Benson0 · December 2006

oui en choisissant convenablement la suite mais $x \longrightarrow tan(1/x) $
n'est de toute façon définie sur aucun intervalle ouvert contenant $0$ ni en $0$ donc le caractère discontinu est apparent. En fait, il s'agit dans ce cas de montrer que cette fonction n'a pas de limite en zéro.

Clotho... · December 2006

Ok merci à Gilles et à Oump pour la précision.
Cordialement,
Clotho.

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