$u_n$ tend vers O quand $n$ tend vers $+\infty$.
Si la limite de la fonction existe, $\sin(1/u_n)$ converge vers cette limite.
Que vaut : $\sin(1/u_n)$?
Si $sin(1/x)$ admettait une limite lorsque $x$ tend vers $0$, on sait que pour toute suite convergeant vers $0$ (par exemple pour ta suite $u_n$) alors on aurait $sin(1/u_n)$ qui convergerait vers la même limite.
oui en choisissant convenablement la suite mais $x \longrightarrow tan(1/x) $
n'est de toute façon définie sur aucun intervalle ouvert contenant $0$ ni en $0$ donc le caractère discontinu est apparent. En fait, il s'agit dans ce cas de montrer que cette fonction n'a pas de limite en zéro.
Réponses
si f a une limite l en 0 alors pour toute suite u(n) de limite nulle , la suite
f(u(n)) a pour limite l.
dans ton exemple que dire de la suite f(u(n))?
conclusion?
Oump.
Si la limite de la fonction existe, $\sin(1/u_n)$ converge vers cette limite.
Que vaut : $\sin(1/u_n)$?
Car $f(u_n)=sin(\frac{\pi}{2}+n\pi)=(-1)^{n+1}$.
Si $sin(1/x)$ admettait une limite lorsque $x$ tend vers $0$, on sait que pour toute suite convergeant vers $0$ (par exemple pour ta suite $u_n$) alors on aurait $sin(1/u_n)$ qui convergerait vers la même limite.
sk.
$f$ est $C^0$ en $x_0$ ssi $ \forall (u_n)$ telle que:
$\lim u_n = x_0$ on a:
$\lim f(u_n) = f(x_0)$
ce qui ne sera pas le cas pour la fonction considérée.
Merci pour vos réponses. Pour répondre à Oump :
On a alors $f(u_n)=sin(\pi/2+n\pi)=(-1)^n$ qui admet pour point d'adhérence $-1$ et $1$.
Ok je vois ou ils veulent en venir dans mon énoncé. Si j'avais eu $tan(1/x)$ dans mon énoncé, on aurait choisi $u_n=\pi+n\pi/2$. Non?
Merci
C'est concernant ma dernière question :
si je prends x$\longrightarrow$tan(1/x), est-ce qu'un raisonnement analogue peut fonctionner ?
Merci
Hum.. dans tout voinisage de 0 il y a des valeurs de x pour lesquelles ta
fonction n'est pas definie.!
pour poser le pb il faut une fonction definie dans un Voisinage "épointé " de 0..
Oump
n'est de toute façon définie sur aucun intervalle ouvert contenant $0$ ni en $0$ donc le caractère discontinu est apparent. En fait, il s'agit dans ce cas de montrer que cette fonction n'a pas de limite en zéro.
Cordialement,
Clotho.