deux applications différentiables
Bonsoir tout le monde !
Soit $g$ une fonction continue de $S^1 \subset \R^2 \longrightarrow \R$ telle que $g(0,1)=g(1,0)=0$ et $g(-x,-y)=-g(x,y)$.
Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ la fonction définie par :
$$f(x,y)=(\sqrt{x^2+y^2})g(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$$ si $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$
On a $$S^1=((x,y)\in \R^2 | x^2+y^2=1)$$
Si $(x,y) \in \R^2$ et $h : \R \longrightarrow \R$ définie par $h(t)=f(tx,ty)$, je dois montrer qu'alors $h$ est différentiable.
Je voudrai juste une piste.
Merci !
En L3 de mathématiques
Soit $g$ une fonction continue de $S^1 \subset \R^2 \longrightarrow \R$ telle que $g(0,1)=g(1,0)=0$ et $g(-x,-y)=-g(x,y)$.
Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ la fonction définie par :
$$f(x,y)=(\sqrt{x^2+y^2})g(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$$ si $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$
On a $$S^1=((x,y)\in \R^2 | x^2+y^2=1)$$
Si $(x,y) \in \R^2$ et $h : \R \longrightarrow \R$ définie par $h(t)=f(tx,ty)$, je dois montrer qu'alors $h$ est différentiable.
Je voudrai juste une piste.
Merci !
En L3 de mathématiques
Réponses
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NB : qu'est-ce que c'est beau le latex quand même !
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Bien-sûr j'ai calculé $h(t)=f(tx,ty)$ mais qu'en faire ?
En L3 de mathématiques -
il me semble que $h(t)=t f(x,y)$ ?
-
Merci de votre réponse !
Mais n'a-t-on pas $\sqrt{t^2x^2+t^2y^2}=|t|\sqrt{x^2+y^2}$ ? -
Donc on aurait $$f(tx,ty)=|t|\sqrt{x^2+y^2}g(\frac{tx}{|t|\sqrt{x^2+y^2}},\frac{ty}{|t|\sqrt{x^2+y^2}})$$
-
Ah et donc on a bien $f(tx,ty)=h(t)=tf(x,y)$
Je réfléchis pour la suite -
oui $sqrt{t^2}=|t|$ mais ne t'inquiète pas, avant de dire ça, j'ai séparé les deux cas positif et négatif.
c'est quoi les autres questions? -
Bah pour l'instant je dois trouver que h est différentiable.
Ensuite, je dois montrer que si f est différentiable en (0,0) alors g=0 -
Bah pour l'instant je dois trouver que h est différentiable.
Ensuite, je dois montrer que si f est différentiable en (0,0) alors g=0 -
Bah pour l'instant je dois trouver que h est différentiable.
Ensuite, je dois montrer que si f est différentiable en (0,0) alors g=0 -
désolé pour tous ces posts !
amis modérateurs
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Je crois avoir trouvé !
$f_1 : t \longrightarrow f(t,0)=|t|g(\frac{t}{|t|},0)$$
Si $t>0$, on a $f_1(t)=tg(1,0)=0$
Si $t -
J'ai réussi à montrer que les dérivées partielles en (0,0) de f sont nulles.
Mais je n'arrive pas à prouver qu'elle est différentiable.
Coordonnées polaires peut-être ? -
tu veux montrer quoi?
tu dois supposer que f est différentiable en 0, et montrer que g est nulle , c'est ça ton exercie? -
On définie h et on veux montrer que la fonction h ainsi définie est différentiable.
Si vous voulez, j'ai tout écrit dans mon premier post.
Merci encore -
Sinon pour la seconde question c'est bien ce que vous avez énoncé !
Mais je bloque surtout sur la première question... -
si j'ai bien compris, h est définie sur R et elle est de la forme $h(t)=tf(x,y)$ donc c'est juste une fonction linéaire de R dans R
ou alors h est définie sur R² et c'est t le paramètre?? -
Je crois avoir trouvé ! $$ f_1 : t \longmapsto f(t,0)=|t|g \left(\textstyle{\frac{t}{|t|}},0\right)$$ Si $t>0$, on a $f_1(t)=tg(1,0)=0$
Si $t $ ... -
Non vous avez tout à fait raison, h est définie sur R
Merci beaucoup -
La fonction $h$ est bien sûr dérivable, puisqu'elle est carrément linéaire sur $R_+$ et $\R_-$ (elle ressemble à la fonction valeur absolue). En revanche elle n'est pas dérivable en $0$.
-
Bonjour egoroff !
Ensuite je dois montrer que $f$ n'est différentiable en $(0,0)$ que si $g=0$
Donc j'ai montré que $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$$
Donc j'ai posé $L{(x,y)}(h,k)=0$
On a donc $\epsilon(h,k)=g(\frac{h}{\sqrt{h^2+k^2}},\frac{k}{\sqrt{h^2+k^2}})$
Et pour que $f$ soit différentiable en $(0,0)$, il faut que $$\lim_{(h,k)\to (0,0)} \epsilon(h,k)=0$$
Est-ce la bonne méthode ?
Merci
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Bonjour!
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