intégrale généralisée

novice · December 2006

Bonjour, j'ai d'abord démontré que $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^-tx}{1+t²}dt$ était convergente.
Je dois maintenant en déduire que :
pour tout a $\in$ ]0,$\infty$[, la série numérique de terme général $\int_{n}^{n+1} \frac{e^-ta}{1+t²}dt$ converge.
J'imagine que c'est par des majorations ou minorations, mais je ne vois pas...
j'attends votre aide...

gb0 · December 2006

Et en additionnant bêtement tes intégrales grâce à la relation de Chasles ...?

Gilles Benson0 · December 2006

bonsoir, je dirais que la réponse est très proche de toi par exemple avec la relation de Chasles

novice · December 2006

A quoi servirait ce réel a alors?

Aleg · December 2006

à noyer le poisson !

novice · December 2006

en effet, ça en a tout l'air en fait, merci bien!

novice · December 2006

Puis je dire que $u_n$ qui associe à a ma deuxième intégrale est de classe C1?

gb0 · December 2006

Si tu veux dire que tu considère $u_n(a) = \int_{n}^{n+1} \dfrac{e^{-ta}}{1+t^2}\,dt$,
tu intègres une fonction de deux variables $(a,t)$ continue sur $\R^2$, l'intervalle d'intégration $[n,n+1]$ est compact, donc $u_n$ est continue sur $\R$ sans problème.

novice · December 2006

mais est-elle de classe C1?

gb0 · December 2006

$f(a,t) = \dfrac{e^{-at}}{1+t^2}$ est de classe $C1$ sur $R\2$, donc $u_n$ est de classe $C^1$ sur $\R$. En fait il suffit que $f$ et $\dfrac{\partial f}{\partial a}$ soient continues sur $\R \times [n,n+1]$.
L'essentiel est que l'intervalle d'intégration est compact : tout se passe bien.

novice · December 2006

d'accord merci beaucoup, et donc pour dériver l'intégrale je dérive la fontion par rapport à t tout simplement?

gb0 · December 2006

$u_n(a) = \int_n^{n+1} f(a,t)\?dt$ est fonction de $a$ : on dérive donc par rapport à $a$ :$u'_n(a) = \int_n^{n+1} \dfrac{\partial f}{\partial a}(a,t)\?dt$

novice · December 2006

pff oui ok, c'est ce que je me disais au début en plus. Bon merci, je vous laisse tranquille..

intégrale généralisée

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