théorème des fonctions implicites
Bonsoir cher(e)s matheu(ses)x 
On considère $$f(x,y)=x^4+x^2+y^4+2y^2-5$$
Je dois trouver une fonction $\phi$ de classe $C^1$ sur un intervalle ouvert $I$ contenant 1, définie implicitement par l'équation $f(x,y)=0$ et vérifiant $\phi(1)=1$
Je viens juste de commencer le chapitre sur le théorème des fonctions implicites.
DOnc je sais que $$\phi^{'}(x)=\frac{{\partial f}{\partial x}(x,\phi(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,\phi(x))}$$
Mais ça n'a pas l'air de servir à grand chose.
Donc je souheterai un peu d'aide et merci beaucoup !
On considère $$f(x,y)=x^4+x^2+y^4+2y^2-5$$
Je dois trouver une fonction $\phi$ de classe $C^1$ sur un intervalle ouvert $I$ contenant 1, définie implicitement par l'équation $f(x,y)=0$ et vérifiant $\phi(1)=1$
Je viens juste de commencer le chapitre sur le théorème des fonctions implicites.
DOnc je sais que $$\phi^{'}(x)=\frac{{\partial f}{\partial x}(x,\phi(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,\phi(x))}$$
Mais ça n'a pas l'air de servir à grand chose.
Donc je souheterai un peu d'aide et merci beaucoup !
Réponses
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Que dire de $f(1,1)$ et de $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)$ ?
Applique ensuite le théorème. -
Si tu connais $y_0$ avec $f(1,x_0) = 0$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,y_0) \neq 0$, tu sais que, localement au voisinage de 1, $f(x,y) = 0$ définit implicitement $\phi$, de calsse $C^1$ comme $f$ (et même de classe $C^{\infty}$...) avec $\phi(1) = y_0$.
Il te suffit de vérifier $que -$y_0 = 1$ convient.
Tu peux, en résolvant léquation bicarrée $f(x,y) = y^4 + 2y^2 + (x^4+x^2-5) = 0$, déterminer explicitement $\phi$. -
bonsoir,
l'équation qui définit y est bicarrée (poser $y^2=y$) donc il est possible d'exprimer directement y en fonction de x en discutant le signe de $\Delta$ en fonction de x -
Bonsoir Guego !
On a $f(1,1)=0$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=8 \neq 0$
On en déduit qu'il existe un voisinage de $(1,1)$ sur lequel on peut résoudre $f(x,y)=0$ sous la forme $y=\phi(x)$
Est-ce cela ?
Mais peut-on déterminer $\phi(x)$ ?
Car la question est de trouver $\phi(x)$ ... -
D'accord ça marche !
Mais la fonction n'est donc pas unique, me trompè-je ? -
Si tu connais $y_0$ avec $f(1,x_0) = 0$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,y_0) \neq 0$, tu sais que, localement au voisinage de 1, $f(x,y) = 0$ définit implicitement $\phi$, de calsse $C^1$ comme $f$ (et même de classe $C^{\infty}$...) avec $\phi(1) = y_0$.
Il te suffit de vérifier que -$y_0 = 1$ convient.
Tu peux, en résolvant l'équation bicarrée $f(x,y) = y^4 + 2y^2 + (x^4+x^2-5) = 0$, déterminer explicitement $\phi$. -
Tu as à résoudre léquation bicarrée $y^4 + 2y^2 + (x^4+x^2-5) = 0$, soit $z^2 + 2z + (x^4+x^2-5) = 0$ avec $z = y^2$.
Le discriminant réduit est $1 -(x^4+x^2-5) = -x^4 - x^2 +6$ qui est positif sur $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, d'où sur cet intervalle les racines $z_1 = -1 + \sqrt{6 - x^2 -x^4}$ et $z_2 = -1 - \sqrt{6 - x^2 -x^4}$ qui est visiblement négative, donc ne convient pas.
$z_1$ sera positive ssi $z_1z_2 = x^4+x^2-5 < 0$, soit $x \In I$, intervalle à déterminer...
L'équation a alors pour racines $y_1 = \sqrt{z_1}$ et $y_2 = -\sqrt{z_1}$.
Pour $x = 1$, on a $z_1 = 1$, donc $y_1 = 1$ et $y_2 = -1$.
La fonction implicite qui satisfait à $\phi(1) = 1$ est donc définie sur $I$ par
$$\phi(x) = y_1 = \sqrt{\sqrt{6 - x^2 -x^4} - 1}$$
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