Pour vérification...
Bonjour,
Si l'un d'entre vous pouvait vérifier ma rédaction pour l'implication suivante :
$\forallB\subsetY$ $f(f^{-1}(B))=B$ implique $f$ surjective.
Il faut bien entendu distinguer le cas où $B$ est une partie stricte de $Y$ de celui où $B=Y$. Dans ce dernier cas, mon implication est triviale et s'obtient directement sous forme d'inclusion.
Cas où $B$ est une partie stricte de $Y$. Posons $B={y}$. Alors en traduisant la condition $f(f^{-1}(B))=B$, j'obtiens $f(f^{-1}({y}))={y}$.
Ce qui implique entre autre que : $f^{-1}({y})=\emptyset$. Ce qui est impossible, puisque par définition $f(\emptyset)=\emptyset$. Donc $y$ a au moins un antécédent par $f$. Autrement dit :
$f^{-1}({y})\neq\emptyset$ et par suite, $f$ est surjective.
En fait, on est bien obligé de considérer l'ensemble vide? Je vois pas trop comment faire autrement.
Merci pour la précision,
Cordialement,
Clotho.
Si l'un d'entre vous pouvait vérifier ma rédaction pour l'implication suivante :
$\forallB\subsetY$ $f(f^{-1}(B))=B$ implique $f$ surjective.
Il faut bien entendu distinguer le cas où $B$ est une partie stricte de $Y$ de celui où $B=Y$. Dans ce dernier cas, mon implication est triviale et s'obtient directement sous forme d'inclusion.
Cas où $B$ est une partie stricte de $Y$. Posons $B={y}$. Alors en traduisant la condition $f(f^{-1}(B))=B$, j'obtiens $f(f^{-1}({y}))={y}$.
Ce qui implique entre autre que : $f^{-1}({y})=\emptyset$. Ce qui est impossible, puisque par définition $f(\emptyset)=\emptyset$. Donc $y$ a au moins un antécédent par $f$. Autrement dit :
$f^{-1}({y})\neq\emptyset$ et par suite, $f$ est surjective.
En fait, on est bien obligé de considérer l'ensemble vide? Je vois pas trop comment faire autrement.
Merci pour la précision,
Cordialement,
Clotho.
Réponses
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Oubli, $f$ est une application de $X$ vers $Y$ et $B$ est une partie de $Y$
-
Hello,
ton énoncé est imprécis. Quels sont les ensembles de départ et d'arrivée? Quel est ton hypothèse? Supposes-tu que ton égalité est vraie pour toute partie B de l'ensemble d'arrivée? -
Ok, nos messages se sont croisés. Donc, ca répond à une partie des mes questions. Mais supposes-tu que ta formule est vraie pour tout B , ou juste pour un certain B?
-
non il faut le faire pour toute partie de $Y$ car $f(\empty)=\empty$ si $f$ est une application
geoffrey -
Bonsoir,
Pour toute partie B incluse dans Y.
Cordialement, -
Désolé de faire remonter à nouveau le poste. Mais je me demande aussi si il est pertinent de chercher à généraliser ma proposition.
Par exemple, intérêt à se demander si :
$f(f^{-1}(AUBUC))=AUBUC$ $\Leftrightarrow$ $f$ surjective?
Avec bien entendu $AUBUC$ dans ens. d'arrivée $Y$. -
Bonsoir,
Résumons-nous on a lorsque $f:X\to Y$,
$$\forall B\in P(Y), f(f^{-1}(B)=B \Leftrightarrow f surjective. $$
Pour ta deuxième question, on a
$$\{A\cup B\cup C : A,B, C\in P(Y)\}=P(Y)$$ autrement dit ton hypothèse est la même que cella d'avant.
sk. -
Bonsoir Skyrmion,
Ok pour la précision.
Cordialement,
Clotho.
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