calcul + inversion locale

Bonjour,

Il assure que l'on peut exprimer $\theta$ en fonction de $x$ et $y$. De là a aller chercher un théorème d'inverse local pour cet exemple, c'est ma fois assez directe.

sk.

Bonjour

Traduit simplement on a : (a pour thétha)

dx=cos(a).dr-r.sin(a)d(a)
dy=sin(a)dr+rcos(a).da

on tire r^2.d(a)=x.d(y)-y.dx
la résolution du système revient à inverser la matrice

Cordialement

Il ne s'agit pas d'un C1-difféomorphisme puisque l'application n'est même pas bijective (sur $\R^{1}$)!

On peut utiliser le théorème de l'inverse local si tu veux, mais puisque l'inverse est explicitement calculable, le recours au théorème est superflu. en général on utlise un théorème de l'inverse lorqu'il n'est pas calculable.

Au passage, on n'a pas un $C^1$-diffémorphisme de tout le plan $R^2$ car il faut obligatoirement enlever certaines demi-droite, ainsi $l'application $\phi:(x,y)\mapsto (r,\theta)$ définie par $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ est un $C^1$-difféo de $]0,\infty[\times ]0,2\pi[$ sur $R^2$ privé du demi axe des abscisses positives. (le domaine de départ doit-être ouvert!)

Au sujet du $\theta$ cherché, c'est $\displaystyle \theta= 2 arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}$, où plus simplement $\displaystyle \theta=arctan(\frac{y}{x})$ lorsque $x>0$, $\displaystyle \theta=arctan(\frac{y}{x})$ lorsque $x0$, $\theta=-\frac{\pi}{2}$ lorsque $x=0, y

En tout point autre que l'origine, le jacobien de $f$ est non nul : $f$ est localement inversible, on obtient la matrice jacobienne de l'inverse locale, en particulier $\partial_{x} \theta$, et $\partial_{y} \theta$, en inversant la matrice jacobienne de $f$.