semi-continue
Réponses
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Salut salim,
C'est une bonne question, mais la réponse est non. Aucun lien fils unique. C'est vrai que la terminologie est trompeuse !
La semi-continuité, ce n'est pas "à gauche" ou "à droite" mais "par en-dessous" ou "par au-dessus" ; ça se passe plutôt dans l'ensemble d'arrivée que dans l'ensemble de départ. D'ailleurs "continue à gauche/à droite" n'a de sens que pour les fonctions définies sur $\R$, et "semi-continue" n'a de sens que pour les fonctions à valeurs dans $\R$.
L'exemple qui permet de comprendre la différence :
- l'indicatrice de $[0,1[$ est continue à droite ;
- l'indicatrice de $]0,1]$ est continue à gauche ;
- l'indicatrice de $]0,1[$ est semi-continue inférieurement ;
- l'indicatrice de $[0,1]$ est semi-continue supérieurement. -
Oui.
mais si on repose la même question mais dans un point fixe $x_0$?
les deux derniers exemples :
l'indicatrice de ]0,1[ elle est continue partout sauf aux points 0 et 1.
mais elle est comme même continue à droite en 1, et elle est continue à gauche en 0.
donc je comprends qu'on peux pas dire qu'elle continue à gauche ni continue à droite.
mais dans chaque point $x_0$ elle est continue à gauche ou à droite. -
Bon, alors regarde l'indicatrice du singleton $\{ 0 \}$ au point $0$ : elle n'est pas continue à droite, pas continue à gauche, et pourtant elle est semi-continue supérieurement. L'indicatrice de $\R^* = \R \setminus \{0\}$ n'est continue ni à gauche ni à droite en $0$ et pourtant elle est semi-continue inférieurement. Etc.
Cela dit, ce que j'aimerais que tu comprennes c'est que ces deux notions n'ont aucune raison de communiquer. Il y en a une qui parle de fonctions à variables réelles et l'autre qui parle des fonctions à valeurs réelles. Par exemple dans le plan $\R^2$ l'ndicatrice du cercle unité est semi-continue (dans quel sens ?) mais comment parler de continuité à gauche ou à croite ? -
ok, Merci. je vois plus clair maintenant.
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Bonjour,
egoroff, encore merci pour ton aide récente avec mathématibo sur les fonctions semi continues inférieurement.
J'ai pu ainsi démontrer , par exemple, que la fonction Partie Entière E n'est pas sci, mais que -E l'est ; ceci, à l'aide de la définition:
f:lR--->lR est sci si
$\forall \alpha: E(\alpha) =\{f^{-1}(]- \infty,\alpha])$ est un fermé.
Afin d'être certain d'avoir bien compris, je reprends ton exemple avec l' indicatrice de ]0,1[:
si $\alpha \geq 1 : E(\alpha)= \R$
si $\alpha < 1 : E(\alpha)= ]- \infty,0] \cup [1, \infty[$
et ce sont deux fermés.
Est-ce cela ?
Merci -
Salut bs,
Effectivement cette discussion qu'on avait eue tous les trois nous avait tous rafraîchi les idées sur la question ! C'est tout à fait exact ce que tu racontes, j'ajouterais que pour l'indicatrice de $]0,1[$, $E(\alpha)$ est vide (donc fermé) pour $\alpha < 0$ (tiens c'est marrant, la fonction $\alpha \mapsto E(\alpha)$ a l'air "continue à droite", c'est peut-être le lien que salim pressentait).
Ton exemple peut éclairer salim d'ailleurs : la partie entière est continue à droite et semi-continue supérieurement, son opposé est continue à droite mais semi-continue inférieurement. Voilà encore quelquechose à remarquer pour souligner la différence entre les deux notions : on passe de s.c.s. à s.c.i. par $f(x) \mapsto -f(x)$, alors qu'on passe de c.à.g. à c.à.d. par $f(x) \mapsto f(-x)$. -
Une dernière remarque pour bien enfoncer le clou : il me semble qu'on peut exprimer ces deux notions avec les topologies "latérales" sur $\R$. On regarde la topologie $\mathcal{T}_d$ engendrée par les $[a,b[$ et on note $\R_d$ l'espace topologique $(\R,\mathcal{T}_d)$. Alors une fonction $f \, : \, E \to \R$ est semi-continue supérieurement si et seulement si $f$ est continue de $E \to \R_d$ et une fonction $g \, : \, \R \to F$ est continue à droite si et seulement dit elle est continue de $\R_d \to F$ (à vérifier).
-
Dans le cas de l'indicatrice de ]0,1[, je devais donc aussi considérer le cas où <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="42" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/20/105044/cv/img1.png" ALT="$ \alpha <0$"></SPAN> pour être exhaustif ?
<BR>remerci pour toutes ces précisions.<BR> -
Ben, je pense que oui, puisque la définition commence par $\forall \alpha \in \R$. Maintenant, comme la fonction est à valeurs dans $\R_+$, tu peux peut-être te passer des $\alpha < 0$, effectivement ; mais comme ça ne coûte pas plus cher...
Tiens, qu'est-ce qu'on peut dire de la suite de terme général $f(u_n)$ lorsque $u_n$ converge vers $a$ et que $f$ est s.c.i. en $a$ ? -
justement,
j'ai fait la semaine dernière le problème de Quercia sur les fonctions s.c.i.,et cette question y figurait:
si$f(x_n)$--->$l$,avec $l \in \R$ barre alors
1)$l=- \infty$ pas possible, OK,
2)$l \geq f(a)$ ; ça aussi, j'ai compris,
puis,
3)l'auteur écrit: " le cas $l=+\infty$ est possible, il suffit de prendre:
$f(x)= $1/lxl si $x \neq 0$
sinon $f(0)=0$
question : ici, on montre que f est sci en considérant les trois cas $\alpha >0,=0, -
Oui, c'est une bonne définition 'intuitive" de la semi-continuité inférieure : une fonction s.c.i. ne peut qu'augmenter localement. A condition de bien l'interpréter. Par exemple une fonction continue est constante localement. Les seules discontinuités qu'une fonction s.c.i. peut avoir sont des sauts vers le haut. Comme par exemple l'indicatrice de $]0,1[$ en $0$, où ta fonction qui est continue partout sauf en $0$ où elle "saute" des deux côtés (assez violemment d'ailleurs). C'est comme ça qu'on voit le caractère s.c.i. sur le graphe d'une fonction.
En fait même lorsque $f(u_n)$ ne converge pas on peut quand même dire que $\lim \inf f(u_n) \geq f(a)$. -
je besoin aux informations sur l'inverse de matrice et le transport de matrice pour écrire un programme de méthode des moidres carrées
[Mohamed : J'ai ouvert un nouveau sujet pour ton message. Prière d'y continuer la discussion. AD]
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=344500&t=344500> -
mohamed : Je ne comprends pas en quoi ta question a un rapport avec ce qui la précède, tu aurais certainement plus de chances d'avoir des réponses en ouvrant un nouveau sujet.
Pour les autres : Est-il vrai qu'une fonction croissante est continue à droite si et seulement si elle est semi-continue supérieurement ? Je dirais oui mais j'ai vraiment la flemme de vérifier... -
Dans ce cas, une fonction décroissante semi continue inférieure est continue à gauche ?
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/20/105044/cv/img1.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/20/105044/cv/img1.png"){kind=link}
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