Ces exercices qui m'empêchent de dormir...

Voici qui devrait t'aider à un peu mieux dormir (pour le CG de 94 du moins)

Pour le 1), j'ai l'impression que c'est trivial, mais comme c'est le concours général, je me dis que mon impression doit être fausse.

Explication : l'énoncé dit en quelque sorte que la fonction est concave. Et j'ai du mal à imaginer une fonction concave minorée et non constante (:P)

IL me semble pour le premier que l'on peux faire un raisonnement directe, on sait qu'il existe $m$ tel que $f(m)$ soit le minimum des valeurs prises par f. On a donc $f(m) \geq 1/2(f(m+1)+f(m-1)) \geq min(f(m+1),f(m-1))$ supposons que le min soit $f(m-1)$ on a alors $f(m)=f(m-1)$ on obtient alors que $f(m) \geq 1/2(f(m+1)+f(m))$ et donc que $f(n) \geq f(m-1)$ puis $f(m)=f(m-1)$ , en procedant ainsi par reccurence on montre que $\forall n \in \Z ,f(n)=f(m)$.
ps: comme il est un peu tard cela ne m'etonnerais pas d'avoire fait une démonstration fausse

Il faut lire $m+1$ et non pas $m-1$ dans les 2 dernières inegalités

Bonjour,

L'exercice du Concours Général 1993, exercice 3 est corrigé dans le livre de R.Ferréol ( CG: 1988 à 1994). C'est la solution de Yann Ollivier, élève de première au lycée d'Enghien qui est proposée.

François: content de t'avoir acheté "Rationnal points on Elliptic Curves"; mais pourquoi les exercices ne sont-ils pas corrigés ?,il n'y a même pas d'indice.
De temps à autre , je solliciterai les esprits brillants qui rodent sur le forum, pour m'aider dans leurs résolutions.

Amicalement.

Oui, la solution est monstueuse, hein?

F.D.

Merci à tous de vos contributions, je n'hésiterai pas à proposer des exercices ou des solutions de mon crû à l'occasion,

amicalement,

F.D.

Rebonjour,

Merci Guego: je me demandais effectivement si Y.Ollivier était connu par des mathernautes du forum. Le livre de R.Ferréol comprend les énoncés+corrigés des exercices du CG de 1988 à 1994; livre paru en 1996. Pour d'autres exercices, ce sont également des solutions de Yann, devenu donc depuis chercheur au CNRS, qui sont proposées.

Pour une solution non monstrueuse du 2b, voilà celle proposée par R. Ossaut et P.Leroux, élèves en maths sup au lycée d'Enghien.( ils sont forts à Enghien !).
Je n'écris que les grandes lignes.

1) Lemme :
"Pour tout entier $n \geq 13$, il existe 3 entiers naturels a,b,c tels que $n^2=a^2+b^2-c^2$ avec $a,b,c<n$".
Preuve: utiliser l'identité,
$$(4n+d)^2 = (4n-d)^2 + (2n+2d)^2 - (2n-2d)^2 $$

2)Récurrence:
Si on a montré que $f(k)=k$ pour tout $k<n$ , avec $n \geq 13$,
alors en écrivant suite au lemme : $n^2+c^2=b^2+c^2$, on a :
$((f(n))^2 =((f(a))^2+((f(b))^2-((f(c))^2 = a^2+b^2-c^2=n^2$
===> $f(n)=n$

Très élégant.

Amicalement.

Salut bs,

Voici une autre démonstration de ton lemme, en séparant les cas pairs et impairs, qui marche dès que n>=10.

Si n=2p on a : (2*p)²=(2*p-4)²+(p+3)²-(p-5)²
Si n=2p+1 on a : (2*p+1)²=(2*p-1)²+(p+2)²-(p-2)²

J'imagine qu'il y a encore bien d'autres preuves...