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Ces exercices qui m'empêchent de dormir...

Envoyé par FrançoisD 
Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
Salut à tous,

il n'y a pas de raison de ne pas partager mes insomnies avec d'autres...

1. Soit $f : \Z\longrightarrow\R$ on suppose $f$ minorée et $\forall n\in\Z$,
$$f(n)\geq\frac{1}{2}(f(n+1)+f(n-1))$$ Montrer que cette application est constante. (Concours général, 1993)

2. Soit $f:\N\rightarrow \N$ telle que $f(m^2+n^2)=(f(m))^2+(f(n))^2$
a. Calculer $f(k),0\leq k\leq 12$
b. Tant qu'on est là, calculer $f(n)$ pour tout $n$. (Concours général, 1994)

Je vous épargne les exercices de géométrie...
A bientôt,

F.D.
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
Voici qui devrait t'aider à un peu mieux dormir (pour le CG de 94 du moins)
[attachment 5551 M94DD1CA.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - M94DD1CA.pdf (155.7 KB)
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
Merci beaucoup

F.D.
Pour le 1), j'ai l'impression que c'est trivial, mais comme c'est le concours général, je me dis que mon impression doit être fausse.

Explication : l'énoncé dit en quelque sorte que la fonction est concave. Et j'ai du mal à imaginer une fonction concave minorée et non constante spinning smiley sticking its tongue out
Pour le 1 :

Raisonnement par l'absurde :
Si elle n'est pas constante
alors quitte à bien choisir on peut trouver n tel que f(n)<f(n+1)
( ou f(n)>f(n+1) qui se traite de la même façon )

On pose e=f(n+1)-f(n) la différence
f(n+1)>= f(n-1)+2e donc f(n)>= f(n-1)+e
On construit ainsi une suite d'images qui tendent vers -infini


PS : désolé, j'ai voulu essayé en latex mais je n'y arrive pas :

Pour le 1 :

Raisonnement par l'absurde :
Si elle n'est pas constante
alors quitte à bien choisir on peut trouver $n$ tel que $f(n)<f(n+1)$
( ou $f(n)>f(n+1)$ qui se traite de la même façon )

On pose $e=f(n+1)-f(n)$ la différence
$f(n+1)\geq f(n-1)+2e$ donc $f(n)\geq f(n-1)+e$
On construit ainsi une suite d'images qui tendent vers $-\infty$
la_bas_si_j_y_suis_pas_logué
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
IL me semble pour le premier que l'on peux faire un raisonnement directe, on sait qu'il existe $m$ tel que $f(m)$ soit le minimum des valeurs prises par f. On a donc $f(m) \geq 1/2(f(m+1)+f(m-1)) \geq min(f(m+1),f(m-1))$ supposons que le min soit $f(m-1)$ on a alors $f(m)=f(m-1)$ on obtient alors que $f(m) \geq 1/2(f(m+1)+f(m))$ et donc que $f(n) \geq f(m-1)$ puis $f(m)=f(m-1)$ , en procedant ainsi par reccurence on montre que $\forall n \in \Z ,f(n)=f(m)$.
ps: comme il est un peu tard cela ne m'etonnerais pas d'avoire fait une démonstration fausse
gb
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
Je ne vois pas pourquoi "on sait qu'il existe $m$ tel que $f(m)$ soit le minimum des valeurs prises par $f$".
la_bas_si_j_y_suis_pas_logué
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
Il faut lire $m+1$ et non pas $m-1$ dans les 2 dernières inegalités
la_bas_si_j_y_suis_pas_logué
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
Oups en regardant trop rapidement j'ai cru voir que $f$ était à valeur dans $\Z$
Bonjour,

L'exercice du Concours Général 1993, exercice 3 est corrigé dans le livre de R.Ferréol ( CG: 1988 à 1994). C'est la solution de Yann Ollivier, élève de première au lycée d'Enghien qui est proposée.

François: content de t'avoir acheté "Rationnal points on Elliptic Curves"; mais pourquoi les exercices ne sont-ils pas corrigés ?,il n'y a même pas d'indice.
De temps à autre , je solliciterai les esprits brillants qui rodent sur le forum, pour m'aider dans leurs résolutions.

Amicalement.
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
La solution du 2.b. du pdf est bien compliquée, je trouve.
FrançoisD_au bahut
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
Oui, la solution est monstueuse, hein?

F.D.
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
"C'est la solution de Yann Ollivier, élève de première au lycée d'Enghien qui est proposée"

Le livre doit dater un peu, étant donné que Yann Ollivier est chercheur CNRS à l'ENS Lyon, maintenant.
FrançoisD_au bahut
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
Merci à tous de vos contributions, je n'hésiterai pas à proposer des exercices ou des solutions de mon crû à l'occasion,

amicalement,

F.D.
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
> Oui, la solution est monstueuse, hein?

Ce que je veux dire, c'est qu'il y a plus simple. Quand on calcule les 10 premières valeurs de f(n), on est fatalement amené à "induire" le théorème selon lequel pour tout entier n>=10, il existe des entiers a,b,c strictements plus petits tels que n^2+c^2=a^2+b^2, parce que modulo ça l'exercice est plié, f(n) n'étant pas plus méchant que f(3).

Ça m'étonne justement que dans la correction figure la phrase "il est impossible de généraliser ce procédé". Bin si, c'est possible, heureusement!

Quant à ce théorème lui-même, bon, les nombres complexes, les matrices, c'est bien joli tout ça, mais en séparant les cas pair/impair (ça paraît naturel) et en bidouillant sans avoir vraiment à réfléchir, on trouve rapidement des formules le démontrant.

Cela étant, si c'est un élève de première qui a produit une telle démonstration (j'ai pas compris si dans le pdf les solutions étaient celles des élèves ou pas) ça m'impressionne.
bs
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
Rebonjour,

Merci Guego: je me demandais effectivement si Y.Ollivier était connu par des mathernautes du forum. Le livre de R.Ferréol comprend les énoncés+corrigés des exercices du CG de 1988 à 1994; livre paru en 1996. Pour d'autres exercices, ce sont également des solutions de Yann, devenu donc depuis chercheur au CNRS, qui sont proposées.

Pour une solution non monstrueuse du 2b, voilà celle proposée par R. Ossaut et P.Leroux, élèves en maths sup au lycée d'Enghien.( ils sont forts à Enghien !).
Je n'écris que les grandes lignes.

1) Lemme :
"Pour tout entier $n \geq 13$, il existe 3 entiers naturels a,b,c tels que $n^2=a^2+b^2-c^2$ avec $a,b,c<n$".
Preuve: utiliser l'identité,
$$(4n+d)^2 = (4n-d)^2 + (2n+2d)^2 - (2n-2d)^2 $$

2)Récurrence:
Si on a montré que $f(k)=k$ pour tout $k<n$ , avec $n \geq 13$,
alors en écrivant suite au lemme : $n^2+c^2=b^2+c^2$, on a :
$((f(n))^2 =((f(a))^2+((f(b))^2-((f(c))^2 = a^2+b^2-c^2=n^2$
===> $f(n)=n$

Très élégant.

Amicalement.
bs
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
Décidément;
Dans le lemme, c'est: $n^2=a^2+b^2-c^2$ qu'il faut lire.
J'ai changé (dans la deuxième correction) le + en - , mais c'est le + qui est resté .
Comme j'écris beaucoup d'erreurs, un peu d' oxygène va me faire le plus grand bien.
Amicalement.
Re: Ces exercices qui m'empêchent de dormir...
il y a douze années
avatar
Salut bs,

Voici une autre démonstration de ton lemme, en séparant les cas pairs et impairs, qui marche dès que n>=10.

Si n=2p on a : (2*p)²=(2*p-4)²+(p+3)²-(p-5)²
Si n=2p+1 on a : (2*p+1)²=(2*p-1)²+(p+2)²-(p-2)²

J'imagine qu'il y a encore bien d'autres preuves...
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