Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
216 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Les Normes d'une matrice

Envoyé par Delmas 
Les Normes d'une matrice
il y a treize années
Bonjour à tous !
Dites-moi, y a-t-il une différence entre ces deux expresssions :
$$\|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\mid a_{ij}\mid$$ $$\|A\|=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|$$
En fait, je compte démontrer un théorème intitulé en anglais "Induced matrix norm Theorem" en utilisant la définition des normes de vecteur à l'infini. Seulement, j'aboutis à la première expression : $\displaystyle \|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\mid a_{ij}\mid$ alors que je devrais arriver à la seconde.
D'où, mon désir de passer par votre intermédiaire, en cherchant à savoir si les dites expressions sont identiques.

Merci d'avance pour votre aide !
Re: Les Normes d'une matrice
il y a treize années
Quelle est la norme sur l'espace vectoriel ?
gb
Re: Les Normes d'une matrice
il y a treize années
avatar
Tes deux normes ne sont pas égales :

$$\|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\mid a_{ij}\mid$$ est défini intrinsèquement à partir de $A$.

$$\|A\|=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|$$ est définie à l'aide $\|x\|$ et de $\|Ax\|$. Tu dois donc d'une norme sur l'espace vectoriel dans lequel $x$ et $Ax$ ; d'où la question de edgardalouest : quelle est cette norme ?

De toutes façons $\|A\|$ définie par la deuxième formule satisfait toujours (c.-à-d. quelle que soit la norme choisie pour $\|x\|$ et de $\|Ax\|$) à $\|AB\| \leq \|A\|.\|B\|$ ; alors que tu as seulement $\|AB\|_{\infty} \leq n\|A\|_{\infty}.\|AB\|_{\infty}$.
Re: Les Normes d'une matrice
il y a treize années
Rebonjour,
Merci pour votre atention a mon sujet. Alors, la norme sur l'espace vectoriel est
$$\|x\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\mid x_i\mid$$
gb
Re: Les Normes d'une matrice
il y a treize années
avatar
Dans ce cas, il est bien connu que :
$$\|A\| = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n \abs{A_{i,j}}$$
gb
Re: Les Normes d'une matrice
il y a treize années
avatar
En tapant ma dernière réponse, je viens de m'apercevoir d'une méprise sur ta première question, tu avais parfaitement raison, mais ta notation $\|A\|_{\infty}$ est inhabituelle pour désigner cette norme, et je ai réagi en fonction de la notation, et non pas de l'expression donnée. J'avais lu $\|A\|_{\infty}=\max_{1 \leq i,j \leq n} \left| a_{ij} \right|$
Re: Les Normes d'une matrice
il y a treize années
Ok, encore merci .
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 139 062, Messages: 1 352 278, Utilisateurs: 25 079.
Notre dernier utilisateur inscrit mathbois.


Ce forum
Discussions: 31 009, Messages: 287 012.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page