Les Normes d'une matrice
Bonjour à tous !
Dites-moi, y a-t-il une différence entre ces deux expresssions :
$$\|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\mid a_{ij}\mid$$ $$\|A\|=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|$$
En fait, je compte démontrer un théorème intitulé en anglais "Induced matrix norm Theorem" en utilisant la définition des normes de vecteur à l'infini. Seulement, j'aboutis à la première expression : $\displaystyle \|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\mid a_{ij}\mid$ alors que je devrais arriver à la seconde.
D'où, mon désir de passer par votre intermédiaire, en cherchant à savoir si les dites expressions sont identiques.
Merci d'avance pour votre aide !
Dites-moi, y a-t-il une différence entre ces deux expresssions :
$$\|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\mid a_{ij}\mid$$ $$\|A\|=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|$$
En fait, je compte démontrer un théorème intitulé en anglais "Induced matrix norm Theorem" en utilisant la définition des normes de vecteur à l'infini. Seulement, j'aboutis à la première expression : $\displaystyle \|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\mid a_{ij}\mid$ alors que je devrais arriver à la seconde.
D'où, mon désir de passer par votre intermédiaire, en cherchant à savoir si les dites expressions sont identiques.
Merci d'avance pour votre aide !
Réponses
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Quelle est la norme sur l'espace vectoriel ?
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Tes deux normes ne sont pas égales :
$$\|A\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\mid a_{ij}\mid$$ est défini intrinsèquement à partir de $A$.
$$\|A\|=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|$$ est définie à l'aide $\|x\|$ et de $\|Ax\|$. Tu dois donc d'une norme sur l'espace vectoriel dans lequel $x$ et $Ax$ ; d'où la question de edgardalouest : quelle est cette norme ?
De toutes façons $\|A\|$ définie par la deuxième formule satisfait toujours (c.-à-d. quelle que soit la norme choisie pour $\|x\|$ et de $\|Ax\|$) à $\|AB\| \leq \|A\|.\|B\|$ ; alors que tu as seulement $\|AB\|_{\infty} \leq n\|A\|_{\infty}.\|AB\|_{\infty}$. -
Rebonjour,
Merci pour votre atention a mon sujet. Alors, la norme sur l'espace vectoriel est
$$\|x\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\mid x_i\mid$$ -
Dans ce cas, il est bien connu que :
$$\|A\| = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n \abs{A_{i,j}}$$ -
En tapant ma dernière réponse, je viens de m'apercevoir d'une méprise sur ta première question, tu avais parfaitement raison, mais ta notation $\|A\|_{\infty}$ est inhabituelle pour désigner cette norme, et je ai réagi en fonction de la notation, et non pas de l'expression donnée. J'avais lu $\|A\|_{\infty}=\max_{1 \leq i,j \leq n} \left| a_{ij} \right|$
-
Ok, encore merci .
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