Oui Guego, c'est $f$ et $f"$, avec $f$ de $\R+$ dans $\R$ et de classe $C^2$ ( Pommelet p.155 ).
On suppose que $\int_{R+}f$ et $\int_{R+}f''$ convergent,
Prouver que limite [quand t---> + infini de f(t)] =0 puis,
Prouver que limite [quand t---> + infini de f'(t)] =0. Enfin,
Montrer que $\int_{R+}f'$ converge.
Pour plus de clarté f est $C^{2}$ de R+ dans R telle que
$\int_{R+}|f|$ et $\int_{R+}f''^{2}$ convergent
il faut montrer que $f'(x)$ tend vers 0 quand x tend +oo
Oral X 2006
Avec Cauchy Schwarz j'ai obtenu
$$|f'(x)-f'(y)|\leq K.\sqrt{|x-y|}$ où $K=\int_{R+}f''^2$$
donc $f'$ est uniformément continue
J'avais envie de monter que $f'(x)$ vérifie le critère de Cauchy en $+\infty$
Ce qui permet de monter l'existence de limite $f'(x)$ en $+\infty$
Mais sans succès.
Merci à ceux qui voudront bien me donner un coup de pouce.
Même si l'énoncé n'est pas le même, on peut suivre la démarche de bs.
On commence par la première étape : montrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
Analyse de la situation : si $f$ ne tend pas vers 0 (sachant qu'elle est intégrable), c'est qu'elle doit faire des pics, et de plus en plus reserrés. Sur la gauche du pic, on aura donc une dérivée très grande (positivement) et sur la droite une dérivée très grande dans les négatifs. Autrement dit : au voisinage d'un pic, la dérivée change très vite, ce qui va contredire l'uniforme continuité de $f'$ (obtenue avec Cauchy-Scwharz).
On rédige tout ça proprement : Si $f$ ne tend pas vers 0, alors il existe $\epsilon_0$ tel que (quitte à changer $f$ en $-f$) il existe $x_n$ tendant vers l'infini avec $f(x_n) > \epsilon_0$. (existence de pics).
Soit $\delta>0$. Je vous laisse voir que le fait que $\int_{x_n}^{x_n+\delta} |f|$ tende vers 0 quand $n$ tend vers l'infini impose l'existence d'un $N$ et d'un $x'$ dans $[x_N,x_N+\delta]$ tel que $f(x') < \frac{\epsilon_0}{2}$. Par les accroissements finis, il existe $z$ dans $[x_N,x']$ tel que $f'(z) < \frac{-\epsilon_0}{2\delta}$ (la pente est forte à droite du pic).
De même, à gauche de $x_N$ (en fait, il fallait choisir $N$ au départ pour que ça marche des 2 côtés en même temps) : il existe $y \in [x_N-\delta,x_N]$ tel que $f'(y) > \frac{\epsilon_0}{2\delta}$.
Donc $f'(y) - f'(z) > \frac{\epsilon_0}{\delta}$ ce qui contredit $f'(y) - f'(z) \leq K \sqrt{\delta}$ si on a bien choisi $\delta$.
Ouf ! $f$ tend vers 0.
Deuxième étape : je ne rédige pas, je donne l'idée. De même, si $f'$ ne tend pas vers 0, elle a des sursauts au-dessus d'une valeur $\epsilon_0$. Comme elle est uniformément continue, ces pics ne peuvent être trop serrés. Donc, au voisinage de ces pics, $f'$ passe un certain temps au-dessus de $\frac{\epsilon_0}{2}$, et ceci va contredire le fait que $f$ converge en $+\infty$.
montrer que le résultat est faux dans $\mathbb{R}^2$. C'est à dire qu'il existe une fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, de classe $C^{\infty}$ par exemple, telle que $f^2$ et $\| \nabla f \|^2$ soientt intégrables, mais telle que la fonction ne tende pas vers $0$ à l'infini.
Non, c'est juste que la plupart du temps, en classe, quand on veut construire une fonction intégrable qui ne tend pas vers 0, on fait une fonction qui fait des pics. Et comme la somme des aires sous les pics doit converger (pour avoir l'intégrabilité), ces pics doivent être de plus en plus fin.
Je suis juste parti de ce constat empirique. Ensuite, la démonstration formelle que j'ai faite montre que c'est effectivement comme ça que ça se passe...
Parce que bs a dit que ça se faisait en 2 étapes : on commence par montrer que f tend vers 0, puis on s'en sert pour montrer que f' tend vers 0. J'ai donc commencé par montrer (par l'absurde) que f tendait vers 0.
Réponses
On suppose que $\int_{R+}f$ et $\int_{R+}f''$ convergent,
Prouver que limite [quand t---> + infini de f(t)] =0 puis,
Prouver que limite [quand t---> + infini de f'(t)] =0. Enfin,
Montrer que $\int_{R+}f'$ converge.
Bonne journée.
Coup de pouce :
Critere de Cauchy => convergence en +oo de f' et de f..
Oump.
$\int_{R+}|f|$ et $\int_{R+}f''^{2}$ convergent
il faut montrer que $f'(x)$ tend vers 0 quand x tend +oo
Oral X 2006
Avec Cauchy Schwarz j'ai obtenu
$$|f'(x)-f'(y)|\leq K.\sqrt{|x-y|}$ où $K=\int_{R+}f''^2$$
donc $f'$ est uniformément continue
J'avais envie de monter que $f'(x)$ vérifie le critère de Cauchy en $+\infty$
Ce qui permet de monter l'existence de limite $f'(x)$ en $+\infty$
Mais sans succès.
Merci à ceux qui voudront bien me donner un coup de pouce.
On commence par la première étape : montrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
Analyse de la situation : si $f$ ne tend pas vers 0 (sachant qu'elle est intégrable), c'est qu'elle doit faire des pics, et de plus en plus reserrés. Sur la gauche du pic, on aura donc une dérivée très grande (positivement) et sur la droite une dérivée très grande dans les négatifs. Autrement dit : au voisinage d'un pic, la dérivée change très vite, ce qui va contredire l'uniforme continuité de $f'$ (obtenue avec Cauchy-Scwharz).
On rédige tout ça proprement : Si $f$ ne tend pas vers 0, alors il existe $\epsilon_0$ tel que (quitte à changer $f$ en $-f$) il existe $x_n$ tendant vers l'infini avec $f(x_n) > \epsilon_0$. (existence de pics).
Soit $\delta>0$. Je vous laisse voir que le fait que $\int_{x_n}^{x_n+\delta} |f|$ tende vers 0 quand $n$ tend vers l'infini impose l'existence d'un $N$ et d'un $x'$ dans $[x_N,x_N+\delta]$ tel que $f(x') < \frac{\epsilon_0}{2}$. Par les accroissements finis, il existe $z$ dans $[x_N,x']$ tel que $f'(z) < \frac{-\epsilon_0}{2\delta}$ (la pente est forte à droite du pic).
De même, à gauche de $x_N$ (en fait, il fallait choisir $N$ au départ pour que ça marche des 2 côtés en même temps) : il existe $y \in [x_N-\delta,x_N]$ tel que $f'(y) > \frac{\epsilon_0}{2\delta}$.
Donc $f'(y) - f'(z) > \frac{\epsilon_0}{\delta}$ ce qui contredit $f'(y) - f'(z) \leq K \sqrt{\delta}$ si on a bien choisi $\delta$.
Ouf ! $f$ tend vers 0.
Deuxième étape : je ne rédige pas, je donne l'idée. De même, si $f'$ ne tend pas vers 0, elle a des sursauts au-dessus d'une valeur $\epsilon_0$. Comme elle est uniformément continue, ces pics ne peuvent être trop serrés. Donc, au voisinage de ces pics, $f'$ passe un certain temps au-dessus de $\frac{\epsilon_0}{2}$, et ceci va contredire le fait que $f$ converge en $+\infty$.
En tout cas, c'est pas de la tarte, cet exo.
Pour Guego.
Je viens de lire votre rédaction à titre culturel.
Ce que j'aimerais comprendre, c'est pourquoi en début d'analyse de la question, vous précisez :
"si $f$ ne tend pas vers 0 (sachant qu'elle est intégrable), c'est qu'elle doit faire des pics, et de plus en plus reserrés."
Peut-on tjs interprêté une telle fonction de cette manière?
Merci pour les explications,
Cordialement,
Clotho.
Je suis juste parti de ce constat empirique. Ensuite, la démonstration formelle que j'ai faite montre que c'est effectivement comme ça que ça se passe...
Clotho.
Guego on demandait de prouver que f' tend vers 0.
Pourquoi tu commences ta démo avec si f ne tend pas vers 0
tu fais référence à un livre Pommelet p.155 peux tu me donner le titre exact, l'éditeur ?
merci
Pommelet : "Agrégation de Mathématiques - Cours d'Analyse", Ellipses.