intégrale oral X

C'est $f^2$ et $f''^2$ qui sont intégrables, ou bel et bien $f$ et $f''^2$ ? (ou juste $f$ et $f''$ peut-être)

Bonjour,

Coup de pouce :

Critere de Cauchy => convergence en +oo de f' et de f..

Oump.

Même si l'énoncé n'est pas le même, on peut suivre la démarche de bs.
On commence par la première étape : montrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$.

Analyse de la situation : si $f$ ne tend pas vers 0 (sachant qu'elle est intégrable), c'est qu'elle doit faire des pics, et de plus en plus reserrés. Sur la gauche du pic, on aura donc une dérivée très grande (positivement) et sur la droite une dérivée très grande dans les négatifs. Autrement dit : au voisinage d'un pic, la dérivée change très vite, ce qui va contredire l'uniforme continuité de $f'$ (obtenue avec Cauchy-Scwharz).

On rédige tout ça proprement : Si $f$ ne tend pas vers 0, alors il existe $\epsilon_0$ tel que (quitte à changer $f$ en $-f$) il existe $x_n$ tendant vers l'infini avec $f(x_n) > \epsilon_0$. (existence de pics).
Soit $\delta>0$. Je vous laisse voir que le fait que $\int_{x_n}^{x_n+\delta} |f|$ tende vers 0 quand $n$ tend vers l'infini impose l'existence d'un $N$ et d'un $x'$ dans $[x_N,x_N+\delta]$ tel que $f(x') < \frac{\epsilon_0}{2}$. Par les accroissements finis, il existe $z$ dans $[x_N,x']$ tel que $f'(z) < \frac{-\epsilon_0}{2\delta}$ (la pente est forte à droite du pic).
De même, à gauche de $x_N$ (en fait, il fallait choisir $N$ au départ pour que ça marche des 2 côtés en même temps) : il existe $y \in [x_N-\delta,x_N]$ tel que $f'(y) > \frac{\epsilon_0}{2\delta}$.

Donc $f'(y) - f'(z) > \frac{\epsilon_0}{\delta}$ ce qui contredit $f'(y) - f'(z) \leq K \sqrt{\delta}$ si on a bien choisi $\delta$.

Ouf ! $f$ tend vers 0.

Deuxième étape : je ne rédige pas, je donne l'idée. De même, si $f'$ ne tend pas vers 0, elle a des sursauts au-dessus d'une valeur $\epsilon_0$. Comme elle est uniformément continue, ces pics ne peuvent être trop serrés. Donc, au voisinage de ces pics, $f'$ passe un certain temps au-dessus de $\frac{\epsilon_0}{2}$, et ceci va contredire le fait que $f$ converge en $+\infty$.

En tout cas, c'est pas de la tarte, cet exo.

Bonjour,

Pour Guego.

Je viens de lire votre rédaction à titre culturel.

Ce que j'aimerais comprendre, c'est pourquoi en début d'analyse de la question, vous précisez :

"si $f$ ne tend pas vers 0 (sachant qu'elle est intégrable), c'est qu'elle doit faire des pics, et de plus en plus reserrés."

Peut-on tjs interprêté une telle fonction de cette manière?

Merci pour les explications,

Cordialement,
Clotho.

Ok merci pour la précision.
Clotho.

Parce que bs a dit que ça se faisait en 2 étapes : on commence par montrer que f tend vers 0, puis on s'en sert pour montrer que f' tend vers 0. J'ai donc commencé par montrer (par l'absurde) que f tendait vers 0.

Bonjour Marc

Pommelet : "Agrégation de Mathématiques - Cours d'Analyse", Ellipses.