Dérivation
Bonjour !
J'ai un pti peu (..beaucoup !) de mal à résoudre un exercice.
Voici :
1-Soient a < b deux réels. Soit f définie sur [a,b] à valeurs dans R continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Soit n appartenant à N*.
Montrer que si f s'annule n fois sur [a,b] alors f' s'annule au moins n-1 fois sur ]a,b[.
J'ai fait cette question par récurrence, en travaillant sur deux intervalles.
2-Soient a < b deux réels. Soit n appartenant à N*. Soit g définie sur ]a,b[ à valeurs dans R, telle que g soit de classe Cn-1 sur [a,b] et g est n-fois dérivable sur ]a,b[.
Celle-ci je l'ai faite ausssi, c'esy après que ça se corse...
3-Soit n appartenant à N*, a1<a2<...<an appartenant à R et f est de classe Cn-1 ([a1,an]), f n fois dérivable sur [a1,an[.
On suppose que f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0
Soit z appartenant à [a1,an] fixé.
On veut montrer qu'il existe c appartenant à ]a1,an[, tel que f(z) = ([(z-a1)(z-a2)...(z-an)]/n!)*(dérivée nième de f en c)
On suppose z distinct de a1,a2,...an.
On pose g définie sur [a1,an] à valeurs dans R
qui à x associe f(x)-(x-a1)(x-a2)...(x-an)A où A est un réel tel que g(z)=0
i)Justifier l'existence de A en l'exprimant à l'aide de z.
ii)Montrer que g est de même régularité que f.
ii)Soit c appartenant à ]a1,an[. Montrer que c est comme voulu si et seulement la dérivée n-ième de g en c est égale à O.
iv)Justifier l'existence de c comme voulu
Pourriez-vous m'aider pour la question 3-i) ?
Merci d'avance,
louise
[Le 3) corrigé selon les indications de Bisam, ci-dessous. AD]
J'ai un pti peu (..beaucoup !) de mal à résoudre un exercice.
Voici :
1-Soient a < b deux réels. Soit f définie sur [a,b] à valeurs dans R continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Soit n appartenant à N*.
Montrer que si f s'annule n fois sur [a,b] alors f' s'annule au moins n-1 fois sur ]a,b[.
J'ai fait cette question par récurrence, en travaillant sur deux intervalles.
2-Soient a < b deux réels. Soit n appartenant à N*. Soit g définie sur ]a,b[ à valeurs dans R, telle que g soit de classe Cn-1 sur [a,b] et g est n-fois dérivable sur ]a,b[.
Celle-ci je l'ai faite ausssi, c'esy après que ça se corse...
3-Soit n appartenant à N*, a1<a2<...<an appartenant à R et f est de classe Cn-1 ([a1,an]), f n fois dérivable sur [a1,an[.
On suppose que f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0
Soit z appartenant à [a1,an] fixé.
On veut montrer qu'il existe c appartenant à ]a1,an[, tel que f(z) = ([(z-a1)(z-a2)...(z-an)]/n!)*(dérivée nième de f en c)
On suppose z distinct de a1,a2,...an.
On pose g définie sur [a1,an] à valeurs dans R
qui à x associe f(x)-(x-a1)(x-a2)...(x-an)A où A est un réel tel que g(z)=0
i)Justifier l'existence de A en l'exprimant à l'aide de z.
ii)Montrer que g est de même régularité que f.
ii)Soit c appartenant à ]a1,an[. Montrer que c est comme voulu si et seulement la dérivée n-ième de g en c est égale à O.
iv)Justifier l'existence de c comme voulu
Pourriez-vous m'aider pour la question 3-i) ?
Merci d'avance,
louise
[Le 3) corrigé selon les indications de Bisam, ci-dessous. AD]
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Réponses
quelle est la question de la question 2) de ton exercice?
Sinon,
$$g(z)=0 \Leftrightarrow (z-a_1) \ldots (z-a_n)\big(\frac{f^{(n)}(c)}{n!}-A\big)=0 \Leftrightarrow A=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$$
car $z$ est distinct des $a_i$...
Mais je ne vois pas comment exprimer $A$ en fonction de $z$.... C'est peut-etre avec la question 2)....
Bon week-end,
Raphael
3-Soit n appartenant à N*, a1<a2<...<an appartenant à R et f est de classe Cn-1 ([a1,an]), f n fois dérivable sur [a1,an[.
On suppose que f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0. tel que f(z) = ([(z-a1)(z-a2)...(z-an)]/n!)*(dérivée nième de f en c)
Soit z appartenant à [a1,an] fixé.
On veut montrer qu'il existe c appartenant à ]a1,an[ tel que f(z) = ([(z-a1)(z-a2)...(z-an)]/n!)*(dérivée nième de f en c)[Fait. AD]
Pour ce qui est de la question 3)i, c'est juste une équation du premier degré en A...
cf:
\lien{http://maths-forum.com/showthread.php?t=28208}