Une inégalité ....
Bonjour,
J'ai un petit problème avec une inégalité que je n'arrive pas à trouver.
J et K sont définies sur ]0;+$\infty$[ par :
$\displaystyle J(u)=uln(u)-u+1$ et $J(0)=1$.
$\displaystyle K(u)=\frac{J(u)}{u}$
J'ai montré avant que $\displaystyle J(u) \geq \frac{(1-u)^2}{2}$, pour $\displaystyle u \in [0;1]$.
Je dois montrer maintenant que $\displaystyle K(u) \geq \frac{1}{2}(1-\frac{1}{u})^2$ pour tout $u \geq 1$ , mais je n'y arrive pas.
Merci d'avance de votre aide.
Rouliane.
J'ai un petit problème avec une inégalité que je n'arrive pas à trouver.
J et K sont définies sur ]0;+$\infty$[ par :
$\displaystyle J(u)=uln(u)-u+1$ et $J(0)=1$.
$\displaystyle K(u)=\frac{J(u)}{u}$
J'ai montré avant que $\displaystyle J(u) \geq \frac{(1-u)^2}{2}$, pour $\displaystyle u \in [0;1]$.
Je dois montrer maintenant que $\displaystyle K(u) \geq \frac{1}{2}(1-\frac{1}{u})^2$ pour tout $u \geq 1$ , mais je n'y arrive pas.
Merci d'avance de votre aide.
Rouliane.
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Réponses
Je note donc $f(u) = 2u^2 \ln(u) - 2u^2 + 2u - (u-1)^2$. Sauf erreur de calcul, je trouve $f'(u) = 4u\ln(u) - 4u + 4$ et $f''(u) = 4\ln(u)$.
Sur $[1,+\infty[$, on a $f'' \geq 0$ donc $f'$ croissante, avec $f'(1) = 0$, donc $f' \geq 0$, et $f$ croissante, avec $f(0) = 0$, et on conclut à $f \geq 0 $ et à l'inégalité voulue.
Si je ne me trompe pas, tu travailles en ce moment sur le sujet d'analyse et proba de l'écrit de l'agreg externe de 2003.... moi aussi!
Pour l'inégalité qui te pose pb, j'ai posé:
$$\forall u \geq 1, \quad \theta (u)=K(u)-\frac{1}{2}\big( 1-\frac{1}{u}\big)^2$$
et en dérivant, j'ai obtenu:
$$\forall u \geq 1, \quad \theta '(u)=\frac{(u-1)^2}{u^3}$$
A partir de là, c'est facile de conclure....
Bonne soirée,
Raphael
mais je vois pas comment tu peux ne pas avoir de ln en dérivant ...
Vous pouvez remarquer que pour $u\geq 1$ on a:
$$K(u)\geq J(\frac1u)$$
Dans l'expression de $\theta (u)$, on a $K(u)=\frac{J(u)}{u}$ donc il ne reste plus que $\ln u$ (et d'autres termes qui sont des puissances de $u$) dans l'expressionde $\theta (u)$...
Du coup, en dérivant, le ln..... disparait!
Bonne soirée,
raphael
Soit 1-(1/u)=x
alors K(u)=-ln(1-x)-x (0=<x<1)
Et on sait que ln(1-x)=-(x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...)
Donc,
K(u)-(1/2)*(1-1/u)^2
=-ln(1-x)-x-(1/2)*x^2
=(x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...)-x-(1/2)*x^2
=x^3/3+x^4/4+...>=0 (0=<x<1)
Cordialement.
(I don't know how to use latex)
Sinon, je suis en train de faire l'écrit d'analyse de 2003, je le trouve très accessible quand même par rapport à certains sujets ! ::o
Je ne dis pas que c'est facile, loin de là, mais j'ai vraiment pas un bon niveau et j'arrive à m'en sortir à peu près
Autant certains sujets, je ne comprends rien, mais là, j'ai l'impression qu'un élève de prépa peut largement se débrouiller dessus, non ?
Etrange ces différences de niveau entre les sujets, y'a des épreuves pour lesquelles j'arrive à peine à répondre à 2 questions
Pour quelle raison n'avais-tu pas indiqué de suite la référence de cet exercice, ça peut alors certainement intéresser beaucoup plus de monde .
Bonne continuation.
Amicalement.
$$K(u)\geq J(\frac1u)$$
ce qui réduit la question à une simple trivialité.
$$\ln(u)-2\frac{u-1}{u+1}\geq 0$$
une simple étude de fonction niveau terminale suffit à conclure.
Je ne dis pas que c'est beaucoup plus simple que ce qui a été déjà proposé, mais c'est plus dans l'esprit de l'énoncé me semble-t-il.
Mais je pensais que tu le déduisais plus rapidement que par une étude de fonction.
Merci en tout cas.