valeur principale de Cauchy
dans Analyse
Quelqu'un peut me dire un peu plus sur la valeur pricipale ?
Il parait qu'on peut calculer une la valeur principale d'une intégrale même si celle-ci diverge.
Si oui, j'aimerais savoir comment l'appliquer à l'intégrale :
$$\int_{\mathbb R} \cos^2 x \,\mathrm dx$$.
Merci beaucoup !
Pierre
Il parait qu'on peut calculer une la valeur principale d'une intégrale même si celle-ci diverge.
Si oui, j'aimerais savoir comment l'appliquer à l'intégrale :
$$\int_{\mathbb R} \cos^2 x \,\mathrm dx$$.
Merci beaucoup !
Pierre
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Réponses
On trouve cela dans les cours sur les distributions (Si j'ai bien compris, une VP est en fait une distribution, pas toujours présentée ainsi). On trouve peut-être aussi des infos dans certains cours sur la mesure, car certaines distributions peuvent se présenter comme des mesures ( Dirac, en particulier).
Cordialement
Merci aussi à Archimède ; bien sûr il est évident que l'intégrale vaut + infini, une fonction positive ne tendant pas vers zéro, sa somme ne peut être que l'infini. Je me suis donc trompé d'exemple !
Pourriez-vous m'en donner un exemple ?
Merci
pierre
> une fonction poitive ne tendant pas vers zero,
> sa somme ne peut etre que l'infini
Petite disgression par rapport à la question de départ : attention, c'est faux. On peut construire une fonction continue positive (avec des "tentes") qui ne tend pas vers zéro mais dont l'intégrale est finie.
Pour revenir au sujet principal, je ne comprends pas très bien ta question mais à mon avis la distribution "valeur principale" ne va pas résoudre ton problème. Il s'agit grosso modo d'intégrer $x\mapsto 1/x$ au voisinage de zéro contre une fonction $C^\infty$ à support compact. J'ai peur que ce ne soit pas d'une grande utilité pour toi.
Bonne chance quand même dans ta recherche !
[La case LaTeX AD]
et cette notion est utilisée en analyse complexe sous la forme suivante :
Si $f$ est continue sur $ \R \setminus \{ x_0 \} $ et si $ \displaystyle \int_{-\infty}^{x_0-\epsilon} f(t)\mathrm dt \ \mathrm{ et } \ \int_{x_0+\epsilon}^{+\infty} f(t) \mathrm dt $ sont convergentes, on appelle sous réserve d'existence,
{\bf Valeur Principale de Cauchy} de $ \int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \mathrm dt $ la quantité :
$$ \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{x_0-\epsilon} f(t) \mathrm dt + \int_{x_0+\epsilon}^{+\infty} f(t) \mathrm dt $$
Ceci peut se généraliser à une suite discrète infinie de singularités.
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,350943,350943#msg-350943}
$\hvox{vp}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1\over x}\, dx = 0$
car c'est la limite quand $r\to 0,\ r>0,$ et $R\to+\infty$ de
$$\fbox{\displaystyle\int_{-R}^{-r} {1\over x}\,dx + \displaystyle\int_{r}^R {1\over x}\,dx}$$
Or cette dernière intégrale est nulle car la fonction à intégrer est impaire.
soit Soit $ \displaystyle{I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin\,x}{x (x^2+1)}}dx $
On prend un contour formé d'un demi-cercle de centre O et de rayon $ \epsilon$ dans le demi-plan supérieur, parcouru dans le sens positif puis suivre l'axe des abscisses sur le segment $ [ \epsilon, R]$,
le demi-cercle de centre O et de rayon R puis le segment $ [-R, - \epsilon]$;
soit $ C$ ce contour :
On calcule donc:
$$ I = \int_{C} \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)} dz $$
en utilisant la notion de valeur principale de Cauchy de :
$$ f: z \longrightarrow \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)}$$
$$ I = 2i \pi \text{res} (f,i) = - \frac{\pi}{2e}$$
On évalue d'autre part $ I$ le long du contour ce qui donne en faisant tendre R
vers l'infini et $ \epsilon$ vers zéro :
$$ I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2 + 1)}dx - i \pi \text{res} (f,0)$$
ce qui donne:
$$ - \frac{\pi}{2e} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2+1)}dx - \frac{\pi}{2}$$ soit :
$$ \int_{0}^{+ \infty} \frac{sinx}{x(x^2+1)}dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2e}$$
d'une intégrale impropre $I=\int_{\mathbb{R}}f(t)dt$ qu'on note
P.V.I est définie comme suit
$$ P.V.I=\lim_{A\to +\infty}\limits \int_{-A}^{A}f(t)dt.$$
Bien sûr, lorsque l'intégrale converge la valeurs réelle de
l'intégrale et celle de Cauchy coîncident. Cependant, lorsque
l'intégrale diverge, la valeur prinicipale de Cauchy peut exister
et on dira alors que l'intégrale converge au sens de Cauchy.
Notons que par définition, la valeur de l'intégrale est
$$ I=\lim_{A,B\to +\infty}\limits \int_{A}^{B}f(t)dt.$$
Dans le cas que tu as présenté, l'intégrale est convergente. En
effet, puisque la fonction f définie par $f(x)=\cos(x^2)$ est
paire, alors on a $I=2\int_{0}^{+\infty}\cos(x^2)dt$. En faisant
le changement de variable $y=x^2$, on obtient alors que
$$ I=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos(y)}{\sqrt{y}}dt.$$
Or, en appliquant le critète d'Abel, on montre facilement que $I$
converge. D'où, la valeur principale de Cauchy est égale à la
valeur réelle de $I$. Maintenant, si on veut calculer l'intégrale
$I$, on peut utiliser le calcul des résidus. Si tu veux de amples
rnseignements sur ce sujet, je suis prêt à t'expliquer cela.
Désolé pour la réponse des autres confrères dont l'amalgame vient
du fait que certaines distributions sont définies comme les
distributions $PV(\dfrac{1}{x})$ et $Pf(\dfrac{1}{x^2})$. De plus,
c'est vrai que si une fonction $f$ définie sur $[a,+\infty[$ est
positive {\bf ayant une limite lorsque $x$ tends vers $+\infty$},
alors si l'intégrale $I=\int_{a}^{+\infty}f(t)dt$ converge on a
nécessairement $\lim_{x\to +\infty}f(t)=0$. Or, la fonction $\cos
(x^2)$ n'est pas de signe constant et n'a pas de limite lorsque
$x\to +\infty$.
D'autre part il me semble bien qu'on peut aussi parler de valeur principale pour une singularité comme l'ont fait gilles et Archimède et pas forcément en l'infini.
Date: mar 23 janvier 2007 13:55:04
L'intégrale impropre
$ \displaystyle{I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x (x^2+1)}}dx $
C'est l'intégrale impropre [au sens de Riemann] d'une fonction continue (la fonction $\frac{\sin x}{x}$ est continue sur $\R$). De plus cette intégrale impropre est absolument convergente donc convergente. Par suite elle a une valeur, sans devoir utiliser la notion de valeur principale de Cauchy.
mais la valeur principale de Cauchy de :
$\displaystyle f: z \longrightarrow \frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)}$
pour calculer par les résidus l'intégrale $ \displaystyle{I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x (x^2+1)}}dx $ pour laquelle il n'y a pas de problème en zéro; je t'invite à refaire le calcul proposé pour comprendre ce qui se passe.
Amicalement, Gilles
Je vais donner un exemple (cette fois ci moins embugué), $f$ une fonction définie sur $\mathbb R^2$ et qui y vaut : $f(x_1,x_2) = \cos(x_1)$ elle ne dépend donc pas de la seconde variable. Je souhaite lui calculer la trafsformée de Fourier au sens de Cauchy car ce n'est pas une fonction $L^2$ . Je vais avoir :
$$\hat f(u,v)= \iint_{\mathbb R^2}\cos(x_1)e^{-i(x_1u+x_2v)}\mathrm dx_1 \mathrm dx_2 = \iint_{\mathbb R^2}\frac {e^{ix_1}+e^{-ix_1}}{2}e^{-i(x_1u+x_2v)} \mathrm dx_1 \mathrm dx_2.$$
Pourriez-vous me montrer comment calculer cette intégrale au sens de la V.P
Merci beaucoup.
Pierre
$$\int \cos(x)\cos(tx) \mathrm dt $$
et c'est gagné.
Peut-on vraiment parler de la valeur principale de Cauchy d'une fonction holomorphe ? Pour ma part je ne connais pas cette notion. Le résultat final de votre message aurait dû dans ce cas être
$ \displaystyle \hbox{vp}\int\frac{e^{iz}}{2iz(z^2 + 1)}\,dz=\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2e}$
mais intégrale le long de quoi ?, le long de quelle courbe (ne dépendant pas de paramètres) ? Ca me paraît bizarre comme notion...
En TAN, on utilise parfois la notion de convergence en valeur principale de Cauchy sous la forme suivante : $\displaystyle {\int_{c - i \infty}^{c + i \infty} f(s) \, \mathrm ds}$ converge en valeur principale de Cauchy si : $$\lim_{T \rightarrow \infty} \int_{c-iT}^{c+iT} f(s) \, \mathrm ds < \infty.$$
{\bf Exemples}.
(1) Si $c,x, \kappa > 0$ réels, alors on a : $$\frac {1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i\infty} \frac {e^{xs}}{s^{\kappa+1}} \, \mathrm ds = \frac {x^{\kappa}}{\Gamma(\kappa+1)}.$$
(2) Si $c >0$ et $x > 1$ réels, alors on a : $$\frac {1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+ i \infty} \frac {x^s}{s^2} \, \mathrm ds = \ln x.$$
(3) Si $n \geqslant 2$ est entier, alors on a : $$\frac {1}{2 \pi i} \int_{2-i \infty}^{2+ i \infty} \frac {\zeta(s) x^s}{s^{n+1}} \, \mathrm ds = \sum_{m \leqslant x} \left ( \ln \frac {x}{m} \right )^n.$$
etc.
J'espère avoir apporté un complément utile.
Borde.
Des simplification des mon integrale m'ont effectivement amené à calculer
$$I= \int_R \cos x \cos tx dx $$
et pas $dt$ comme tu as ecrit, ma je sais que c est une fate de frappe, alors j'ai suivi les suggestions de Egoroff, Archimede et autres pour la V.P de $I$,
J'ai abouti à :
$$ I= 2*Lim_{A->\infty}\frac 1 {t^2-1}(\sin At\cos A - t\sin A\cos At)$$
Mais je crois que la il faut encore simplifier!!!!
MErci pour votre aide!
Pierre