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encadrement d'une intégrale

Envoyé par robert 
encadrement d'une intégrale
il y a treize années
Bonsoir à tous,
voilà, je cherhche à montrer que $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\int_a^b|f(t)|^n\right)^{1/n}= \max_{t\in [a,b]}f(t)=M $
Je suis bien arrivé à trouver un encadrement qui m'amène au résultat désiré, mais en passant au préalable par une division de l'intégrale par $M^n$

Or l'indication du prof serait plutôt d'encadrer directement cette intégrale, je me demandais comment faire sans passer par cette division au préalable ...et je n'y arrive pas :( !!!!
J'ai bien essayé en faisant des subdivisions, je tatonne mais ça ne marche pas
Quelqu'un a une idée ?


[Corrigé la limite selon ton indication. AD]
Re: encadrement d'une intégrale
il y a treize années
avatar
Pourquoi $n$ apparaît-il en dehors de la limite ?

Sinon il faudrait donner un peu plus de précisions sur $f$, où est-elle définie ? est-elle supposée continue, réglée ?
Re: encadrement d'une intégrale
il y a treize années
f est continue et définie sur [a,b]
Re: encadrement d'une intégrale
il y a treize années
avatar
Oki doki, ben l'idée est de couper l'intégrale selon que $|f(x)|$ est proche de $M$ ou non, donc on se donne $\varepsilon > 0$, etc. On peut faire presque tout sans division, sauf le passage à la limite qui demande quand même de savoir "qui va gagner" entre la "petite" intégrale et la "grande".
Re: encadrement d'une intégrale
il y a treize années
.....et justement c'est bien là que je coince .......
Re: encadrement d'une intégrale
il y a treize années
avatar
Effectivement, on peut s'en sortir comme suit : on a $(M-\varepsilon) \chi_I \leq |f| \leq M$, où $I$ est un intervalle de longueur $\ell > 0$ sur lequel $|f| \geq M-\varepsilon$ et $\chi_I$ la fonction indicatrice de $I$ qui vaut $1$ sur $I$ et $0$ ailleurs.

Donc en intégrant cet encadrement sur $[a,b]$ : $\ell (M-\varepsilon)^n \leq I_n \leq (b-a)M^n$ en appelant $I_n$ l'intégrale de $|f|^n$. Il reste à appliquer la fonction croissante $t \mapsto t^{1/n}$ et à passer à la limite pour $n \to \infty$ et on obtient $M-\varepsilon \leq L \leq M$ où $L$ est la limite que tu cherches à évaluer. Pour finir on fait tendre $\varepsilon$ vers $0$.
Re: encadrement d'une intégrale
il y a treize années
D'accord,

....merçi beaucoup pour tous ces renseignements,

:)

mais il faut que je regarde tout çà à tête reposée demain ......
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