encadrement d'une intégrale

robert · January 2007

Bonsoir à tous,
voilà, je cherhche à montrer que $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\int_a^b|f(t)|^n\right)^{1/n}= \max_{t\in [a,b]}f(t)=M $
Je suis bien arrivé à trouver un encadrement qui m'amène au résultat désiré, mais en passant au préalable par une division de l'intégrale par $M^n$

Or l'indication du prof serait plutôt d'encadrer directement cette intégrale, je me demandais comment faire sans passer par cette division au préalable ...et je n'y arrive pas

!!!!
J'ai bien essayé en faisant des subdivisions, je tatonne mais ça ne marche pas
Quelqu'un a une idée ?

[Corrigé la limite selon ton indication. AD]

egoroff · January 2007

Pourquoi $n$ apparaît-il en dehors de la limite ?

Sinon il faudrait donner un peu plus de précisions sur $f$, où est-elle définie ? est-elle supposée continue, réglée ?

robert · January 2007

f est continue et définie sur [a,b]

egoroff · January 2007

Oki doki, ben l'idée est de couper l'intégrale selon que $|f(x)|$ est proche de $M$ ou non, donc on se donne $\varepsilon > 0$, etc. On peut faire presque tout sans division, sauf le passage à la limite qui demande quand même de savoir "qui va gagner" entre la "petite" intégrale et la "grande".

robert · January 2007

.....et justement c'est bien là que je coince .......

egoroff · January 2007

Effectivement, on peut s'en sortir comme suit : on a $(M-\varepsilon) \chi_I \leq |f| \leq M$, où $I$ est un intervalle de longueur $\ell > 0$ sur lequel $|f| \geq M-\varepsilon$ et $\chi_I$ la fonction indicatrice de $I$ qui vaut $1$ sur $I$ et $0$ ailleurs.

Donc en intégrant cet encadrement sur $[a,b]$ : $\ell (M-\varepsilon)^n \leq I_n \leq (b-a)M^n$ en appelant $I_n$ l'intégrale de $|f|^n$. Il reste à appliquer la fonction croissante $t \mapsto t^{1/n}$ et à passer à la limite pour $n \to \infty$ et on obtient $M-\varepsilon \leq L \leq M$ où $L$ est la limite que tu cherches à évaluer. Pour finir on fait tendre $\varepsilon$ vers $0$.