encadrement d'une intégrale
Bonsoir à tous,
voilà, je cherhche à montrer que $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\int_a^b|f(t)|^n\right)^{1/n}= \max_{t\in [a,b]}f(t)=M $
Je suis bien arrivé à trouver un encadrement qui m'amène au résultat désiré, mais en passant au préalable par une division de l'intégrale par $M^n$
Or l'indication du prof serait plutôt d'encadrer directement cette intégrale, je me demandais comment faire sans passer par cette division au préalable ...et je n'y arrive pas !!!!
J'ai bien essayé en faisant des subdivisions, je tatonne mais ça ne marche pas
Quelqu'un a une idée ?
[Corrigé la limite selon ton indication. AD]
voilà, je cherhche à montrer que $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\int_a^b|f(t)|^n\right)^{1/n}= \max_{t\in [a,b]}f(t)=M $
Je suis bien arrivé à trouver un encadrement qui m'amène au résultat désiré, mais en passant au préalable par une division de l'intégrale par $M^n$
Or l'indication du prof serait plutôt d'encadrer directement cette intégrale, je me demandais comment faire sans passer par cette division au préalable ...et je n'y arrive pas !!!!
J'ai bien essayé en faisant des subdivisions, je tatonne mais ça ne marche pas
Quelqu'un a une idée ?
[Corrigé la limite selon ton indication. AD]
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Réponses
Sinon il faudrait donner un peu plus de précisions sur $f$, où est-elle définie ? est-elle supposée continue, réglée ?
Donc en intégrant cet encadrement sur $[a,b]$ : $\ell (M-\varepsilon)^n \leq I_n \leq (b-a)M^n$ en appelant $I_n$ l'intégrale de $|f|^n$. Il reste à appliquer la fonction croissante $t \mapsto t^{1/n}$ et à passer à la limite pour $n \to \infty$ et on obtient $M-\varepsilon \leq L \leq M$ où $L$ est la limite que tu cherches à évaluer. Pour finir on fait tendre $\varepsilon$ vers $0$.
....merçi beaucoup pour tous ces renseignements,
mais il faut que je regarde tout çà à tête reposée demain ......