xlny = ylnx ? (Niveau terminale)
Bonjour !
Voilà j'ai quelques difficultés avec la deuxième partie d'un devoir maison. Il s'agit d'une question ouverte :
"Determiner tous les réels x et y strictements positifs et distincts tel que xlny = ylnx"
Ce que j'ai fait :
--> xlny = ylnx --> lny/y = lnx/x (car x et y strictements positifs)
et j'ai eu comme idée d'étudier la représentation graphique mais en fait celà ne sert strictement à rien...
A vrai dire je bloque beaucoup sur cette question donc votre aide me serait grandement utile svp. Merci beaucoup !
Voilà j'ai quelques difficultés avec la deuxième partie d'un devoir maison. Il s'agit d'une question ouverte :
"Determiner tous les réels x et y strictements positifs et distincts tel que xlny = ylnx"
Ce que j'ai fait :
--> xlny = ylnx --> lny/y = lnx/x (car x et y strictements positifs)
et j'ai eu comme idée d'étudier la représentation graphique mais en fait celà ne sert strictement à rien...
A vrai dire je bloque beaucoup sur cette question donc votre aide me serait grandement utile svp. Merci beaucoup !
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Réponses
Pourtant c'est une bonne idée de regarder la courbe ! Tu peux déjà remarquer que si $x=y$ alors l'équation est vérifiée. Autrement, pour un $x$ donné, il y a toujours au moins la solution $(x,x)$. Maintenant la question est : existe-t-il d'autres $y$, différents de $x$, tels que $(x,y)$ soit aussi solution ?
Ouais mais dans la consigne il est écrit X et Y distinct.. donc cette solution n'est pas valable.
Je ne vois pas l'intérêt de regarder le graphique or comme vous dites il y en a un. Est-ce que vous pouvez m'expliquer ce que je dois voir sur le graphique ?
Etudie ses variations puis trace-la.
Tu devrais constater que pour chaque x {\it plus grand que 1}** (sauf un que je te laisse trouver), il existe une seule valeur y différente de x telle que $f(x)=f(y)$.
** comme le fait remarquer egoroff, ci-dessous.
Waouh... Vois-y un monde non pollué avec de la magie partout, où le règne de la beauté et du bonheur s'étend à perte de vue
Plus sérieusement, la seule chose que tu devrais accepter qu'on t'apporte c'est le sens "officiel" des mots (et encore, on se chamaille): mais il ne te servira à rien qu'on soit sûr à ta place.
Tout se trouve là:
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,96315,page=1}
et même plus...
Voici la courbe obtenue (équation implicite) avec Winplot (gratuit !)
Ouais je crois que j'ai compris, je viens de le faire, et je trouve comme solutionsr x superieur a 1 excepté x=e (car y=e est le maximum de la fonction lnX/X
Merci de me dire si je fais des erreurs.
Encore merci pour votre aide !
En revanche moi je ne suis pas d'accord avec ce que tu dis ; la courbe que tu as tracée admet un minimum en $e$, pas un maximum, et puis l'idée de $x>1$ sauf $x=e$ est bonne mais les solutions doivent être sous forme de couples, et il faut justifier davantage ta réponse.
Oui il est clair que ma solution doit être plus justifié. Mais je ne comprends pas pourquoi Egoroff tu dis que la fonction en e admet un minimum et non un maximum... j'ai l'impression que tu as l'inverse de la fonction que j'ai moi !
Ma dérivé : (1-lnx)/x²
J'ai une fonction qui a pr limite -infini en 0 qui est croissante jusqu'a e et décroissante sur [e;+infini[ et qui a pr limite 0 en + infini.
Donc pour moi la droite d'équation y= (ln(e))/e (Soit 1/e) est au dessus de la fonction lnx/x.
Merci beaucoup de votre aide en tout cas.
signalons qu'on peut raisonner arithmetiqement sur l'egalite x^y=y^x
et conclure.
Oump
$$x\ln(f(x)) = f(x) \ln x \text{ si } x > 0$$
bon courage.
$f(1)=1$, $f(e)=e$
Gilles, nostalgie, nostalgie... (post de la page 1)
ça me rappelle quand je représentais l'ensemble de Mandelbrot les premières années. Je revenais du lycée où j'étais interne, en 1990, et je me mettais à l'ordi samedi midi (après le DS habituel du samedi matin).
L'ordi tournait alors sans interruption jusqu'au dimanche soir, et là, si j'avais de la chance, le tracé était terminé.
Maintenant, une demi-seconde, et on a la même chose...
En même temps, ça fait des bons souvenirs. Et la programmation de ma PB80 de 480 octets (si si 480 caractères) où il fallait optimiser le code pour que ça rentre. Mine de rien, ça forçait à réfléchir.
Alors je vous le dis, chers amis :
je prône le retour de la PB80 obligatoire au baccalauréat, et l'épreuve d'informatique en TS (qui commence l'an prochain) sur des TO7/70. ça c'est un vrai programme de campagne. (et ça coûtera moins cher qu'une analyse ADN pour retrouver les voleurs de scoot...)
Bon j'arrête ma diatribe et mes regrets pour revenir dans le présent, qui n'est finalement pas si mal que ça.
Sébatiduroc, après un petit coup de mou.
Il me semble bien plus naturel de passer par l'arithmétique
d'ailleurs Thierry Pomma en avait rédigé une
Merci de m'apporter plus d'explication
Bon courage.