xlny = ylnx ? (Niveau terminale)

Skunkslum · January 2007

Bonjour !
Voilà j'ai quelques difficultés avec la deuxième partie d'un devoir maison. Il s'agit d'une question ouverte :

"Determiner tous les réels x et y strictements positifs et distincts tel que xlny = ylnx"

Ce que j'ai fait :
--> xlny = ylnx --> lny/y = lnx/x (car x et y strictements positifs)
et j'ai eu comme idée d'étudier la représentation graphique mais en fait celà ne sert strictement à rien...

A vrai dire je bloque beaucoup sur cette question donc votre aide me serait grandement utile svp. Merci beaucoup !

egoroff · January 2007

Salut,

Pourtant c'est une bonne idée de regarder la courbe ! Tu peux déjà remarquer que si $x=y$ alors l'équation est vérifiée. Autrement, pour un $x$ donné, il y a toujours au moins la solution $(x,x)$. Maintenant la question est : existe-t-il d'autres $y$, différents de $x$, tels que $(x,y)$ soit aussi solution ?

Skunkslum · January 2007

Tout d'habord merci pour votre réponse.
Ouais mais dans la consigne il est écrit X et Y distinct.. donc cette solution n'est pas valable.

Je ne vois pas l'intérêt de regarder le graphique or comme vous dites il y en a un. Est-ce que vous pouvez m'expliquer ce que je dois voir sur le graphique ?

bisam · January 2007

Tout d'abord il faut bien comprendre que l'on parle du graphe de la fonction $f:x \mapsto \frac{\ln(x)}{x}$.
Etudie ses variations puis trace-la.

Tu devrais constater que pour chaque x {\it plus grand que 1}** (sauf un que je te laisse trouver), il existe une seule valeur y différente de x telle que $f(x)=f(y)$.

** comme le fait remarquer egoroff, ci-dessous.

egoroff · January 2007

Enfin, sauf pour $x < 1$.

christophe c · January 2007

{\it Je vois pas l'interet de regarder le graphique or comme vous dites il y en a un. {\bf Est ce que vous pouvez m'expliquer ce que je dois voir sur le graphique ?}}

Waouh... Vois-y un monde non pollué avec de la magie partout, où le règne de la beauté et du bonheur s'étend à perte de vue

Plus sérieusement, la seule chose que tu devrais accepter qu'on t'apporte c'est le sens "officiel" des mots (et encore, on se chamaille): mais il ne te servira à rien qu'on soit sûr à ta place.

bs · January 2007

Bonsoir,

Tout se trouve là:
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,96315,page=1}

et même plus...

Sébatiduroc · January 2007

Pour discuter d'une courbe, mettons-nous d'accord sur celle dont on parle.
Voici la courbe obtenue (équation implicite) avec Winplot (gratuit !)

5665

Skunkslum · January 2007

Rebonsoir !
Ouais je crois que j'ai compris, je viens de le faire, et je trouve comme solutionsr x superieur a 1 excepté x=e (car y=e est le maximum de la fonction lnX/X

Merci de me dire si je fais des erreurs.

Encore merci pour votre aide !

Skunkslum · January 2007

Je ne suis pas d'accord avec la courbe...

egoroff · January 2007

La courbe proposée par Sébatiduroc n'est pas la courbe représentative de ta fonction, rassure-toi ; les points rouges sont exactement ceux dont les coordonnées $(x,y)$ vérifient ton équation. La droite représente les solutions "évidentes" $(x,x)$ et la courbe qui ressemble vaguement à une hyperbole représente les solutions qui t'intéressent, celles avec $x \neq y$.

En revanche moi je ne suis pas d'accord avec ce que tu dis ; la courbe que tu as tracée admet un minimum en $e$, pas un maximum, et puis l'idée de $x>1$ sauf $x=e$ est bonne mais les solutions doivent être sous forme de couples, et il faut justifier davantage ta réponse.

Skunkslum · January 2007

Bonsoir,
Oui il est clair que ma solution doit être plus justifié. Mais je ne comprends pas pourquoi Egoroff tu dis que la fonction en e admet un minimum et non un maximum... j'ai l'impression que tu as l'inverse de la fonction que j'ai moi !
Ma dérivé : (1-lnx)/x²

J'ai une fonction qui a pr limite -infini en 0 qui est croissante jusqu'a e et décroissante sur [e;+infini[ et qui a pr limite 0 en + infini.
Donc pour moi la droite d'équation y= (ln(e))/e (Soit 1/e) est au dessus de la fonction lnx/x.

Merci beaucoup de votre aide en tout cas.

egoroff · January 2007

Eh oui tu as tout à fait raison, désolé ! J'avais étudié $x / \ln x$ (l'inverse de toi comme tu l'as deviné), et c'est bien plus intelligent d'étudier $\ln x / x$ comme tu l'as fait.

Skunkslum · January 2007

Merci beaucoup pour votre aide sur cet accueillant forum. A très bientôt

oumlpapah · January 2007

Bonjour

signalons qu'on peut raisonner arithmetiqement sur l'egalite x^y=y^x

et conclure.

Oump

gilles benson · January 2007

bonjour, à partir de cela, c'est un défi intéressant que de déterminer les fonctions continues ou dérivables $f$ qui vérifient:
$$x\ln(f(x)) = f(x) \ln x \text{ si } x > 0$$
bon courage.

bs · January 2007

par exemple : $f(x)=x$ ?

gilles benson · January 2007

bonjour, on doit pouvoir faire mieux...

bs · January 2007

bonsoir Gilles: certainement, mais ça permet de voir que l'ensemble des solutions ,n'est pas $\emptyset$.

gilles benson · January 2007

ok, il va falloir que j'essaie winplot puisque c'est gratuit; cet exo me rappelle les premières courbes que j'ai essayé de tracer sur ordi ave l'aide d'un prof de Montmorency: encéphalogramme plat; finalement un autre collègue me les a sorties sans problème sur son mac; le monde a bien changé en 25 ans. En fait les courbes donnent la solution.

bs · January 2007

on a aussi :
$f(1)=1$, $f(e)=e$

gilles benson · January 2007

rebonsoir, en supposant x et y supérieurs à 1 (sinon ce n'est pas drôle), on peut construire une fonction $ g $ dérivable sur $]1;+\infty[$ telle que $g \neq id$ et vérifie l'équation fonctionnelle proposée (j'ai vu ce truc à un oral d'agrégation il y a un bout de temps...):)

Sébatiduroc · January 2007

Bonsoir,

Gilles, nostalgie, nostalgie... (post de la page 1)

ça me rappelle quand je représentais l'ensemble de Mandelbrot les premières années. Je revenais du lycée où j'étais interne, en 1990, et je me mettais à l'ordi samedi midi (après le DS habituel du samedi matin).
L'ordi tournait alors sans interruption jusqu'au dimanche soir, et là, si j'avais de la chance, le tracé était terminé.

Maintenant, une demi-seconde, et on a la même chose...

En même temps, ça fait des bons souvenirs. Et la programmation de ma PB80 de 480 octets (si si 480 caractères) où il fallait optimiser le code pour que ça rentre. Mine de rien, ça forçait à réfléchir.

Alors je vous le dis, chers amis :

je prône le retour de la PB80 obligatoire au baccalauréat, et l'épreuve d'informatique en TS (qui commence l'an prochain) sur des TO7/70. ça c'est un vrai programme de campagne. (et ça coûtera moins cher qu'une analyse ADN pour retrouver les voleurs de scoot...)

Bon j'arrête ma diatribe et mes regrets pour revenir dans le présent, qui n'est finalement pas si mal que ça.

Sébatiduroc, après un petit coup de mou.

gilles benson · January 2007

bonjour, la dernière fois que j'ai volé un solex, il n'a pas été nécessaire de prendre des empreintes adn pour me confondre. Sinon mon premier geste informatique réussi a consisté en la programmation d'une suite récurrente sur une casio fx-180p (pour programmable...) distribuée gratuitement par le fabriquant.

geo · January 2007

Excusez-moi mais je ne comprends pas trop vos raisonement pour résoudre ce pb
Il me semble bien plus naturel de passer par l'arithmétique
d'ailleurs Thierry Pomma en avait rédigé une

Merci de m'apporter plus d'explication

gilles benson · January 2007

bonsoir geo, le problème de départ était la résolution de xlny = ylnx avec x et y réels. Bon personnellement, je sais ce qu'il faut faire et j'imagine que je ne suis pas le seul...La première étape était de restreindre l'intervalle dans le quel x et y évoluent à $]1; + \infty[$; le deuxième étape consiste à faire intervenir les restrictions de $f: x \longrightarrow f(x) = \frac{\ln x}{x}$ à $]1,e]$ et $[e, +\infty[$. Après, il y a encore du travail.
Bon courage.

xlny = ylnx ? (Niveau terminale)

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